Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Pada sebuah studi mortalitas, diberikan sampel dari waktu bertahan hidup (survival times) sebagai berikut
125, 132, 135, 135, 147, 147, 160, 160
Distribusi dari survival times diestimasi dengan menggunakan dua metode:
- Menggunakan distribusi empiris
- Menggunakan taksiran Nelson-Aalen
Hitunglah selisih absolut dari rata-rata survival time sampai 160, \(E(X \wedge 160)\) , antara dua metode ini.
- 0,75
- 1,00
- 1,25
- 1,50
- 1,75
| Diketahui |
Pada sebuah studi mortalitas, diberikan sampel dari waktu bertahan hidup (survival times) sebagai berikut
125, 132, 135, 135, 147, 147, 160, 160 |
| Rumus yang digunakan |
Distribusi empirik:
\(E(X \wedge 160) = \frac{{\sum {{y_j}} }}{n}\)
Taksiran Nelson-Aalen:
\(E(X \wedge 160) = {y_j} \cdot \hat f({y_j})\) |
| Proses pengerjaan |
Menggunakan distribusi empirik, estimasi dari \(E[X \wedge 160]\) adalah:
\(E(X \wedge 160) = \) \(\frac{{\sum {{y_j}} }}{n} = \frac{{125 + 132 + 135 + 135 + 147 + 147 + 160 + 160}}{8} = \) \(\frac{{1141}}{8} = 142,6250\)
Menggunakan taksiran Nelson-Aalen:
| \({y_j}\) |
\({s_j}\) |
\({r_j}\) |
\(\hat H({y_j})\) |
\(\hat S({y_j}) = {e^{ – \hat H({y_j})}}{\rm{ }}\) |
\(\hat f({y_j})\) |
| 125 |
1 |
8 |
\(\frac{1}{8} = 0,125\) |
0,8829 |
0,1171 |
| 132 |
1 |
7 |
\(0,125 + \frac{1}{7} = 0,2679\) |
0,7650 |
0,1179 |
| 135 |
2 |
6 |
\(0,2679 + \frac{2}{6} = 0,6012\) |
0,5482 |
0,2168 |
| 147 |
2 |
4 |
\(0,6012 + \frac{2}{4} = 1,1012\) |
0,3325 |
0,2157 |
| 160 |
2 |
2 |
\(1,1012 + \frac{2}{4} = 2,1012\) |
0,1223 |
0,2102 |
| 160+ |
|
|
|
|
0,1223 |
Estimasi \(E(X \wedge 160)\) menjadi:
\(E(X \wedge 160) = {y_j} \cdot \hat f({y_j})\)
\(E(X \wedge 160) = 125(0,1171){\rm{ }} + 132(0,1179){\rm{ }} + \) \(135(0,2168){\rm{ }} + 147(0,3325) + \)\(160(0,2102 + 0,1223){\rm{ }} = 1,7512\) |
| Jawaban |
E. 1,75 |
