Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 28 - Mei 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	28

SOAL

Dalam sebuah model untuk Rumah sakit, biaya kamar adalah \(X\) dan biaya operasi adalah \(Y\) dimana \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3\) dan \(x \ge 0.\) Fungsi densitas gabungan \(X\) dan \(Y\) \({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y).\). Hitunglah \(E(Y – X)\) ekspektasi kelebihan biaya operasi dibandingkan biaya kamar.

-3/4
-1/2
0
1/4
3/4

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui	\({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y)\) \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3{\rm{ }}\) dan \(x \ge 0.\)
Rumus yang digunakan	\(f(x) = \int {f(x,y)dy} \) \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X)\) \(E(X) = \int {x.f(x)dx} \) \(E(Y) = \int {y.f(y)dy} \)
Proses Pengerjaan	\(f(x) = \int {f(x,y)dy} \) \(= \int\limits_0^{2x + 1} {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dy} \) \(= 0.3xy + 0.15{y^2}\|_0^{2x + 1}\) \(= 0.6{x^2} + 0.3x + 0.6{x^2} + 0.6x + 0.15\) \(= 1.2{x^2} + 0.9x + 0.15{\rm{ ()}}\) \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) \(= \int\limits_{\frac{{y – 1}}{2}}^1 {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dx} \) \(= 0.15{x^2} + 0.3xy\|_{\frac{{y – 1}}{2}}^1\) \(= 0.15 + 0.3y – (0.075{y^2} – 0.15y)\) \(= – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15{\rm{ (*)}}\) Selanjutnya, \(E(x) = \int\limits_0^1 x (1.2{x^2} + 0.9x + 0.15)dx\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 {1.2{x^3} + 0.9{x^2} + 0.15x{\rm{ }}dx} \) \(= 0.3{x^4} + 0.3{x^3} + 0.075{x^2}\|_0^1 = 0.675\) \(E(y) = \int\limits_0^1 y ( – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15)dy\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 { – 0.075{y^3} + 0.15{y^2} + 0.15y{\rm{ }}dy} \) \(= – 0.025{y^4} + 0.05{y^3} + 0.075{y^2}\|_0^3 = 0.675\) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X) = 0.675 – 0.675 = 0\)
Jawaban	c. 0

Trending Topic

Leave A Comment Cancel reply

Most View

Random Post