A20 - Probabilitas dan StatistikaAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 28 – Mei 2018

By Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. On Mar 5, 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	28

SOAL

Dalam sebuah model untuk Rumah sakit, biaya kamar adalah \(X\) dan biaya operasi adalah \(Y\) dimana \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3\) dan \(x \ge 0.\) Fungsi densitas gabungan \(X\) dan \(Y\) \({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y).\). Hitunglah \(E(Y – X)\) ekspektasi kelebihan biaya operasi dibandingkan biaya kamar.

-3/4
-1/2
0
1/4
3/4

Kunci Jawaban & Pembahasan

Agus Sofian Eka Hidayat, S.Pd., M.Ed., M.Sc. 99 posts 0 comments

Saat ini saya bekerja sebagai dosen di President University pada Program Studi Aktuaria. Saya merupakan lulusan Magister Matematika minat Aktuaria dari Universitas Gadjah Mada. Selain itu saya juga merupakan lulusan dari Monash University untuk program Master of Education.

Diketahui	\({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y)\) \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3{\rm{ }}\) dan \(x \ge 0.\)
Rumus yang digunakan	\(f(x) = \int {f(x,y)dy} \) \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X)\) \(E(X) = \int {x.f(x)dx} \) \(E(Y) = \int {y.f(y)dy} \)
Proses Pengerjaan	\(f(x) = \int {f(x,y)dy} \) \(= \int\limits_0^{2x + 1} {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dy} \) \(= 0.3xy + 0.15{y^2}\|_0^{2x + 1}\) \(= 0.6{x^2} + 0.3x + 0.6{x^2} + 0.6x + 0.15\) \(= 1.2{x^2} + 0.9x + 0.15{\rm{ ()}}\) \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) \(= \int\limits_{\frac{{y – 1}}{2}}^1 {0.3x + 0.3y{\rm{ }}dx} \) \(= 0.15{x^2} + 0.3xy\|_{\frac{{y – 1}}{2}}^1\) \(= 0.15 + 0.3y – (0.075{y^2} – 0.15y)\) \(= – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15{\rm{ (*)}}\) Selanjutnya, \(E(x) = \int\limits_0^1 x (1.2{x^2} + 0.9x + 0.15)dx\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 {1.2{x^3} + 0.9{x^2} + 0.15x{\rm{ }}dx} \) \(= 0.3{x^4} + 0.3{x^3} + 0.075{x^2}\|_0^1 = 0.675\) \(E(y) = \int\limits_0^1 y ( – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15)dy\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 { – 0.075{y^3} + 0.15{y^2} + 0.15y{\rm{ }}dy} \) \(= – 0.025{y^4} + 0.05{y^3} + 0.075{y^2}\|_0^3 = 0.675\) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X) = 0.675 – 0.675 = 0\)
Jawaban	c. 0