Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 12 - November 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2017
Nomor Soal	:	12

SOAL

Sebuah peubah acak diskrit \(X\) berdistribusi binomial dengan parameter \(m = 2\) dan \(q\). Tentukan rentang (range) dari \(q\) sedemikian sehingga percentile ke-70 dari \(X\) bernilai 1.

[0,10 , 0,45]
[0,16 , 0,55]
[0,28 , 0,66]
[0,34 , 0,72]
[0,45 , 0,84]

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Sebuah peubah acak diskrit \(X\) berdistribusi binomial dengan parameter \(m = 2\) dan \(q\)
Rumus yang digunakan	\(f(x){\rm{ }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\x\end{array}} \right){q^x}{(1 – q)^{2 – x}},x = 0,1,2\) \(f(0) < 0,70\_dan\_0,7 \le f(0){\rm{ }} + f(1) < 1\)
Proses pengerjaan	Fungsi peluang dari \(X\) : \(f(x){\rm{ }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}2\\x\end{array}} \right){q^x}{(1 – q)^{2 – x}},x = 0,1,2\) Agar persentil 70 dari \(X\) bernilai 1 maka: \(f(0) < 0,70\_dan\_0,7 \le f(0){\rm{ }} + f(1) < 1\) \(f(0){\rm{ }} = {\rm{ }}{(1 – q)^2} = 1 – 2q + {q^2} < 0,7\) Sehingga diperoleh interval untuk \(q\) \(0,163 < q < 1,8367……….persamaan(1)\) \(f(0){\rm{ }} + f(1){\rm{ }} = {\rm{ }}{(1 – q)^2} + 2q(1 – q){\rm{ }} = {\rm{ }}(1 – q)(1 – q + 2q){\rm{ }} = 1 – {q^2}\) Sehingga syarat yang kedua menjadi: \(0,7 \le 1 – {q^2} < 1,\) yaitu, \(1 – {q^2} < 1\) atau \({q^2} > 0\) yang selalu benar dan \(1 – {q^2} \ge 0,7\) \(0,3 – {q^2} \ge 0\) \(– \sqrt {0,3} \le q \le \sqrt {0,3} …….persamaan(2)\) Dari persamaan (1) dan (2) : \(\left[ {\left( {0,163} \right),\left( {0,5477} \right)} \right]\)
Jawaban	B. [0,16 , 0,55]