Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut:
- Banyaknya klaim berdistribusi binomial negatif dengan \(r\) = 0.5 dan \(\beta \) = 1 per tahun.
- Besar klaim berdistribusi Pareto yang memiliki dua parameter yaitu \(\alpha \) = 3 dan \(\theta \) = 1.000
- Banyaknya klaim dan besar klaim saling bebas (independent).
Dengan menggunakan normal approximation, hitunglah probabilitas total klaim tahunan (annual aggregate claims) bernilai kurang dari 150.
- 0,15
- 0,25
- 0,35
- 0,45
- 0,55
| Diketahui |
- Banyaknya klaim berdistribusi binomial negatif dengan \(r\) = 0.5 dan \(\beta \) = 1 per tahun.
- Besar klaim berdistribusi Pareto yang memiliki dua parameter yaitu \(\alpha \) = 3 dan \(\theta \) = 1.000
- Banyaknya klaim dan besar klaim saling bebas (independent).
|
| Rumus yang digunakan |
- \(E(N){\rm{ }} = r\beta \)
- \(Var(N){\rm{ }} = r\beta (1 + \beta )\)
- \(E(X){\rm{ }} = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\)
- \(E(X2){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^2}2}}{{(\alpha – 1)(\alpha – 2)}}\)
- \(Var(X){\rm{ }} = E({X^2}) – {(E(X))^2}\)
- \(E(S){\rm{ }} = E(N)E(X)\)
- \(Var(S){\rm{ }} = E(N)Var(X){\rm{ }} + Var(N)E{(X)^2}\)
|
| Proses pengerjaan |
\(E(N){\rm{ }} = r\beta = (0,5)(1){\rm{ }} = 0,5\)
\(Var(N){\rm{ }} = r\beta (1 + \beta ) = (0,5)(1)(2){\rm{ }} = 1\)
\(E(X){\rm{ }} = \frac{\theta }{{\alpha – 1}} = \frac{{1.000}}{{3 – 1}} = 500\)
\(E(X2){\rm{ }} = \frac{{{\theta ^2}2}}{{(\alpha – 1)(\alpha – 2)}} = \frac{{{{1.000}^2}(2)}}{{2 \times 1}} = 1.000.000\)
\(Var(X){\rm{ }} = E({X^2}) – {(E(X))^2} = 1.000.000 – {500^2} = 750.000\)
Sehingga dapat dihitung:
\(E(S){\rm{ }} = E(N)E(X) = (0,5)(500){\rm{ }} = 250\)
\(Var(S){\rm{ }} = E(N)Var(X){\rm{ }} + Var(N)E{(X)^2}\)
\(Var(S){\rm{ }} = (0,5)(750.00){\rm{ }} + (1){(500)^2} = 625.000\)
\(\frac{{150 – E(S)}}{{\sqrt {Var(S)} }} = \frac{{ – 100}}{{790,569}} = – 0,126\)
\(P(S < 150){\rm{ }} = \Phi ( – 0,126){\rm{ }} = \Phi ( – 0,13){\rm{ }} = 1 – 0,5517 = 0,4483 \approx 0,45\) |
| Jawaban |
D. 0,45 |
