Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
1 |
SOAL
Untuk suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:
- \(T\) adalah variabel acak dari time-until-death
- \(J\) adalah variabel acak dari cause-of-decrement
- \({f_{T,J}}\) cadalah joint p.d.f dari \(T\) dan \(J\)
- \({f_{T,J}}\left( {t,j} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,6k{e^{ – 0,8t}} + 0,9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 1}\\{0,2k{e^{ – 0,8t}} + 0,6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 2}\end{array}} \right.\)
- \({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\)
Hitunglah \(k\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{4}{9}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4}\)
| Diketahui |
Suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:
- \(T\) adalah variabel acak dari time-until-death
- \(J\) adalah variabel acak dari cause-of-decrement
- \({f_{T,J}}\) cadalah joint p.d.f dari \(T\) dan \(J\)
- \({f_{T,J}}\left( {t,j} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,6k{e^{ – 0,8t}} + 0,9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 1}\\{0,2k{e^{ – 0,8t}} + 0,6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 2}\end{array}} \right.\)
- \({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\({}_tq_x^{\left( \tau \right)} = {F_T}\left( t \right) = \int\limits_0^t {{f_T}\left( s \right)ds} \) |
| Proses pengerjaan |
\({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\)
\(\int\limits_0^\infty {{f_{T,J}}\left( {t,1} \right)dt} =2\int\limits_0^\infty {{f_{T,J}}\left( {t,2} \right)dt} \)
\(\int\limits_0^\infty {\left[ {0.6k{e^{ – 0.8t}} + 0.9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1.5t}}} \right]dt} = 2\int\limits_0^\infty {\left[ {0.2k{e^{ – 0.8t}} + 0.6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1.5t}}} \right]dt} \)
\(0.6k\int\limits_0^\infty {{e^{ – 0.8t}}dt} + 0.9\left( {1 – k} \right)\int\limits_0^\infty {{e^{ – 1.5t}}dt}=0.4k\int\limits_0^\infty {{e^{ – 0.8t}}dt} + 1.2\left( {1 – k}\right)\int\limits_0^\infty {{e^{ – 1.5t}}dt} \)
\(0.6k\left( {\frac{1}{{0.8}}} \right) + 0.9\left( {1 – k} \right)\left( {\frac{1}{{1.5}}} \right) = 0.4k\left( {\frac{1}{{0.8}}} \right) + 1.2\left( {1 – k} \right)\left( {\frac{1}{{1.5}}} \right)\)
\(0.75k + 0.6 – 0.6k = 0.5k + 0.8 – 0.8k\)
\(0.45k = 0.2\)
\(k = \frac{4}{9}\) |
| Jawaban |
B. \(\frac{4}{9}\) |
