Pembahasan Ujian PAI: A60 - No. 1 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	1

SOAL

Untuk suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:

\(T\) adalah variabel acak dari time-until-death
\(J\) adalah variabel acak dari cause-of-decrement
\({f_{T,J}}\) cadalah joint p.d.f dari \(T\) dan \(J\)
\({f_{T,J}}\left( {t,j} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,6k{e^{ – 0,8t}} + 0,9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 1}\\{0,2k{e^{ – 0,8t}} + 0,6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 2}\end{array}} \right.\)
\({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\)

Hitunglah \(k\)

\(\frac{3}{8}\)
\(\frac{4}{9}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{4}\)

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut: \(T\) adalah variabel acak dari time-until-death \(J\) adalah variabel acak dari cause-of-decrement \({f_{T,J}}\) cadalah joint p.d.f dari \(T\) dan \(J\) \({f_{T,J}}\left( {t,j} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,6k{e^{ – 0,8t}} + 0,9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 1}\\{0,2k{e^{ – 0,8t}} + 0,6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1,5t}},}&{t \ge 0{\rm{ dan }}J = 2}\end{array}} \right.\) \({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\)
Rumus yang digunakan	\({}_tq_x^{\left( \tau \right)} = {F_T}\left( t \right) = \int\limits_0^t {{f_T}\left( s \right)ds} \)
Proses pengerjaan	\({}_\infty q_x^{\left( 1 \right)} = 2{}_\infty q_x^{\left( 2 \right)}\) \(\int\limits_0^\infty {{f_{T,J}}\left( {t,1} \right)dt} =2\int\limits_0^\infty {{f_{T,J}}\left( {t,2} \right)dt} \) \(\int\limits_0^\infty {\left[ {0.6k{e^{ – 0.8t}} + 0.9\left( {1 – k} \right){e^{ – 1.5t}}} \right]dt} = 2\int\limits_0^\infty {\left[ {0.2k{e^{ – 0.8t}} + 0.6\left( {1 – k} \right){e^{ – 1.5t}}} \right]dt} \) \(0.6k\int\limits_0^\infty {{e^{ – 0.8t}}dt} + 0.9\left( {1 – k} \right)\int\limits_0^\infty {{e^{ – 1.5t}}dt}=0.4k\int\limits_0^\infty {{e^{ – 0.8t}}dt} + 1.2\left( {1 – k}\right)\int\limits_0^\infty {{e^{ – 1.5t}}dt} \) \(0.6k\left( {\frac{1}{{0.8}}} \right) + 0.9\left( {1 – k} \right)\left( {\frac{1}{{1.5}}} \right) = 0.4k\left( {\frac{1}{{0.8}}} \right) + 1.2\left( {1 – k} \right)\left( {\frac{1}{{1.5}}} \right)\) \(0.75k + 0.6 – 0.6k = 0.5k + 0.8 – 0.8k\) \(0.45k = 0.2\) \(k = \frac{4}{9}\)
Jawaban	B. \(\frac{4}{9}\)