Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 11 - Mei 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Pemodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	Mei 2017
Nomor Soal	:	11

SOAL

Sebuah perusahaan asuransi mempunyai 2(dua) jenis klaim asuransi. Untuk setiap jenis klaim tersebut, banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dan besarnya klaim berdistribusi secara seragam (uniform) sebagai berikut:

Jenis Klaim	Parameter Poisson \(\lambda \) untuk jumlah klaim	Range dari masing-masing besaran klaim
I	12	(0, 1)
II	4	(0, 5)

Banyaknya klaim dari dua jenis pertanggungan saling bebas (independent) serta besarnya klaim dan banyaknya klaim saling bebas.

Hitunglah probabilitas nilai total klaim melebihi 18 dengan menggunakan aproksimasi normal.

0,37
0,39
0,41
0,43
0,45

Kunci Jawaban & Pembahasan

Diketahui

Jenis Klaim	Parameter Poisson \(\lambda \) untuk jumlah klaim	Range dari masing-masing besaran klaim
I	12	(0, 1)
II	4	(0, 5)

Banyaknya klaim dari dua jenis pertanggungan saling bebas (independent) serta besarnya klaim dan banyaknya klaim saling bebas.

Rumus yang digunakan

Uniform: \(E\left[ X \right] = \frac{{b – a}}{2}\) ; \(Var\left( X \right) = \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^2}}}{{12}}\)

Agregat: \(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\) dan \(Var\left[ S \right] = E\left[ N \right]Var\left[ X \right] + Var\left[ N \right]E{\left[ X \right]^2}\) \(P\left( {S \le s} \right) = \Phi \left( {\frac{{S – E\left[ S \right]}}{{\sqrt {Var\left( S \right)} }}} \right)\)

Proses pengerjaan

Untuk masing-masing jenis klaim (berdistribusi uniform)

\(E\left[ {{X_I}} \right] = \frac{1}{2}\) dan \(Var\left( {{X_I}} \right) = \frac{1}{{12}}\)
\(E\left[ {{X_{II}}} \right] = \frac{5}{2}\) dan \(Var\left( {{X_{II}}} \right) = \frac{{25}}{{12}}\)

Aggregat masing-masing jenis klaim

\(E\left[ {{S_I}} \right] = 12\left( {\frac{1}{2}} \right) = 6\) dan \(Var\left( {{S_I}} \right) = 12\left( {\frac{1}{{12}}} \right) + 12{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 4\)
\(E\left[ {{S_{II}}} \right] = 4\left( {\frac{5}{2}} \right) = 10\) dan \(Var\left( {{S_{II}}} \right) = 4\left( {\frac{{25}}{{12}}} \right) + 4{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{100}}{3}\)

DIketahui total klaim \(S = {S_I} + {S_{II}}\) diperoleh
\(E\left[ S \right] = 6 + 10 = 16\) dan \(Var\left( S \right) = 4 + \frac{{100}}{3} = \frac{{112}}{3}\)

Peluang menggunakan aproksimasi normal
\(P\left( {S > 18} \right) = 1 – \Phi \left( {\frac{{18 – 16}}{{\sqrt {\frac{{112}}{3}} }}} \right) = 1 – \Phi \left( {0.33} \right) = 1 – 0.06293 = 0.3707\)

Jawaban

a. 0,37