Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Maret 2016 |
| Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Seorang analis aktuaria menggunakan distribusi berikut untuk peubah acak T, lamanya waktu untuk seorang bayi yang baru lahir bertahan hidup
\(f(t) = \frac{t}{{5.000}},\,\,\,\,\,0 < t < 100\)
Pada waktu yang sama dari kelahiran bayi, sebuah produk asuransi dirancang untuk memiliki nilai kompensasi setara dengan pada waktu (t) jika terjadi kematian pada bayi. Hitung ekspektasi nilai pembayaran klaim pada produk asuransi ini (cari nilai dengan pembulatan ratusan terdekat)!
- 2.000
- 2.200
- 2.400
- 2.600
- 2.800
PEMBAHASAN
| Diketahui |
b ialah kompensasi
\(b = {(1,1)^t}\) |
| Kalkulasi |
\(E[T] = \int\limits_0^{100} {b\,f(t)\,dt} \)
\(E[T] = \int\limits_0^{100} {{{(1,1)}^t}\,\frac{t}{{5.000}}\,dt} \)
\(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\int\limits_0^{100} {t{{(1,1)}^t}\,dt} \)
\(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {\left( {t\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\left| {_0^{100}} \right.} \right) – \int\limits_0^{100} {\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\,dt} } \right]\)
\(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {100\frac{{{{(1,1)}^{100}}}}{{\ln 1,1}} – \frac{1}{{\ln 1,1}}\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\left| {_0^{100}} \right.} \right]\)
\(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {100\frac{{{{(1,1)}^{100}}}}{{\ln 1,1}} – \frac{1}{{\ln 1,1}}\frac{{\left( {{{(1,1)}^{100}} – 1} \right)}}{{\ln 1,1}}} \right]\)
\(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {14.458.699,34 – 1.516.905,137} \right]\)
\(E[T] = 2.588,36\)
\(E[T] \cong 2.600\) |
| Jawaban |
d. 2.600 |
