Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Seorang analis aktuaria menggunakan distribusi berikut untuk peubah acak T, lamanya waktu untuk seorang bayi yang baru lahir bertahan hidup
\(f(t) = \frac{t}{{5.000}},\,\,\,\,\,0 < t < 100\)
Pada waktu yang sama dari kelahiran bayi, sebuah produk asuransi dirancang untuk memiliki nilai kompensasi setara dengan pada waktu (t) jika terjadi kematian pada bayi. Hitung ekspektasi nilai pembayaran klaim pada produk asuransi ini (cari nilai dengan pembulatan ratusan terdekat)!
- 2.000
- 2.200
- 2.400
- 2.600
- 2.800
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
PEMBAHASAN
Diketahui | b ialah kompensasi \(b = {(1,1)^t}\) |
Kalkulasi | \(E[T] = \int\limits_0^{100} {b\,f(t)\,dt} \) \(E[T] = \int\limits_0^{100} {{{(1,1)}^t}\,\frac{t}{{5.000}}\,dt} \) \(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\int\limits_0^{100} {t{{(1,1)}^t}\,dt} \) \(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {\left( {t\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\left| {_0^{100}} \right.} \right) – \int\limits_0^{100} {\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\,dt} } \right]\) \(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {100\frac{{{{(1,1)}^{100}}}}{{\ln 1,1}} – \frac{1}{{\ln 1,1}}\frac{{{{(1,1)}^t}}}{{\ln 1,1}}\left| {_0^{100}} \right.} \right]\) \(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {100\frac{{{{(1,1)}^{100}}}}{{\ln 1,1}} – \frac{1}{{\ln 1,1}}\frac{{\left( {{{(1,1)}^{100}} – 1} \right)}}{{\ln 1,1}}} \right]\) \(E[T] = \frac{1}{{5.000}}\,\left[ {14.458.699,34 – 1.516.905,137} \right]\) \(E[T] = 2.588,36\) \(E[T] \cong 2.600\) |
Jawaban | d. 2.600 |
[/showhide]