Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Suatu unit “continuously-operation air conditioning” mempunyai waktu hidup berdistribusi “exponential” dengan “mean” 4 tahun. Ketika unit “fail” harus diganti dengan biaya 1000, yang dianggap sebagai “unit of money”. Anggap \(\overline Z \) menyatakan “present value” variable acak untuk setiap pembayaran unit pada saat terjadi “fail”. Dengan menggunakan “effective annual interest rate 5%” hitunglah
\({90^{th}}\) percentile dari distribusi \(\overline Z \)- 0,3792
- 0,4243
- 0,5212
- 0,8981
- 0,9797
PEMBAHASAN
| Diketahui | \({T_x} \sim eksponensial\,\left( {\lambda = \frac{1}{4}} \right)\) \(\overline Z = {v^{{T_x}}},\,{T_x} > 0\) |
| Kalkulasi | \(P(\overline Z \le t) = 0,90\)
\(P({v^{{T_x}}} \le t) = 0,90\)
\(P({T_x}\,\ln \,v > \ln t) = 0,90\) –> Berubah tanda karena hasil “ln” ialah minus \(P\left( {{T_x} > \frac{{\ln t}}{{\ln \,v}}} \right) = 0,90\) |
| \(misal,\,\,a = \frac{{\ln \,t}}{{\ln \,v}}\) \(P\left( {{T_x} > a} \right) = 0,90\) \({}_a{P_x} = 0,90\) –> Berdistribusi eksponensial \(\lambda = \frac{1}{4}\) \({e^{ – \lambda a}} = 0,90\) \({e^{ – \frac{1}{4}a}} = 0,90\) \(– \frac{1}{4}a = \ln \,0,90\) \(a = \ln \,0,90( – 4)\) \(a = 0,4214420626\) \(a \cong 0,421\) | |
| \(\,0,421 = \frac{{\ln \,t}}{{\ln \,{{(1,05)}^{ – 1}}}}\) \(\ln \,t\, = \left( {0,421} \right)\ln \,{(1,05)^{ – 1}}\) \(t\, = {e^{\ln \,{{(1,05)}^{ – \left( {0,421} \right)}}}}\) \(t\, = {(1,05)^{ – \left( {0,421} \right)}}\) \(t\, = 0,9796688632\) \(t\, \cong 0,9797\) | |
| Jawaban | e. 0,9797 |