Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
Institusi | : | Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
Mata Ujian | : | Permodelan dan Teori Risiko |
Periode Ujian | : | November 2016 |
Nomor Soal | : | 5 |
SOAL
Diberikan 5(lima) sampel klaim sebagai berikut:
\(2,3,4,{x_1},{x_2}\) dengan \({x_2} > {x_1}\)
Sampel ini disesuaikan (fitted) dengan distribusi Pareto dengan menggunakan metode moment. Hasil estimasi parameternya adalah \(\hat \alpha = 47,71\) dan \(\hat \theta = 373.71\)
Hitunglah \({x_1}\)
- 6,0
- 6,6
- 7,0
- 7,6
- 8,0
Diketahui | Diberikan 5(lima) sampel klaim sebagai berikut: \(2,3,4,{x_1},{x_2}\) dengan \({x_2} > {x_1}\)
Sampel ini disesuaikan (fitted) dengan distribusi Pareto dengan menggunakan metode moment. Hasil estimasi parameternya adalah \(\hat \alpha = 47,71\) dan \(\hat \theta = 373.71\) |
Rumus yang digunakan | - Pareto: \(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\)
- \(Var\left( X \right) = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}} – {\left( {\frac{\theta }{{\alpha – 1}}} \right)^2}\)
|
Proses pengerjaan | \(E\left[ X \right] = \frac{{373.71}}{{47.71 – 1}} = \frac{{2 + 3 + 4 + {x_1} + {x_2}}}{5}\)
\(9 + {x_1} + {x_2} = 39.960394 \approx 40\)
\({x_1} + {x_2} = 31\)
\({x_2} = 31 – {x_1}\) |
| \(E\left[ {{X^2}} \right] = \frac{{2{{\left( {373.71} \right)}^2}}}{{\left( {47.71 – 1} \right)\left( {47.71 – 2} \right)}} = \frac{{{2^2} + {3^2} + {4^2} + x_1^2 + x_2^2}}{5}\)
\(29 + x_1^2 + x_1^2 = 654.106327 \approx 654\)
\(x_1^2 + x_2^2 = 625\)
\(x_1^2 + {\left( {31 – {x_1}} \right)^2} = 625\)
\(x_1^2 + 961 – 62{x_1} + x_1^2 = 625\)
\(2x_1^2 – 62{x_1} + 336 = 0\)
\(\left( {{x_1} – 7} \right)\left( {{x_1} – 24} \right) = 0\) |
Jawaban | C. 7,0 |