Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Diberikan informasi sebagai berikut :
- \(Z\) adalah nilai sekarang dari peubah acak untuk suatu asuransi seumur hidup ditunda 10 tahun milik \(\left( x \right)\) dengan nilai manfaat sebesar 1 yang akan dibayarkan pada saat kematian (moment of death)
- \({\mu _{x + t}} = 0,01\) untuk seluruh \(t > 0\)
- \({\delta _t}\) adalah force of interest saat t
- \({\delta _t} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {0,06}\\ {0,05}\\ {0,04} \end{array}} {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le t < 5}\\ {5 \le t < 10}\\ {t \ge 10} \end{array}} \end{array}} \right.\)
Tentukan \(Var\left( Z \right)\) (gunakan pembulatan terdekat)
- 0,019
- 0,021
- 0,022
- 0,023
- 0,024
| Diketahui |
Diberikan informasi sebagai berikut :
- \(Z\) adalah nilai sekarang dari peubah acak untuk suatu asuransi seumur hidup ditunda 10 tahun milik \(\left( x \right)\) dengan nilai manfaat sebesar 1 yang akan dibayarkan pada saat kematian (moment of death)
- \({\mu _{x + t}} = 0,01\) untuk seluruh \(t > 0\)
- \({\delta _t}\) adalah force of interest saat t
- \({\delta _t} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {0,06}\\ {0,05}\\ {0,04} \end{array}} {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le t < 5}\\ {5 \le t < 10}\\ {t \ge 10} \end{array}} \end{array}} \right.\)
|
| Rumus yang digunakan |
Untuk \({\mu _{x + t}}\) dan \({\delta _t}\) konstan
\(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2}\)
\(E\left[ Z \right] = {}_{\left. m \right|}{A_x} = {}_m{E_x} \cdot {\bar A_{x + m}} = \left( {{v^m} \cdot {}_m{p_x}} \right) \cdot \left( {\int_0^\infty {{v^t}{}_t{p_x}{\mu _{x + t}}dt} } \right)\)
\(= \left( {\exp \left[ { – m\left( {\mu + \delta } \right)} \right]} \right) \cdot \left( {\frac{\mu }{{\mu + \delta }}} \right)\)
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = {}_{\left. m \right|}^2{A_x} = {}_m^2{E_x} \cdot {}^2{\bar A_{x + m}} = \exp \left[ { – m(\mu + 2\delta )} \right].\left( {\frac{\mu }{{\mu + 2\delta }}} \right)\) |
| Proses pengerjaan |
\(E\left[ Z \right] = {}_{\left. {10} \right|}{A_x} = {}_{10}{E_x} \cdot {{\bar A}_{x + 10}}\)
\(E\left[ Z \right] = \left( {\exp \left[ { – 5\left( {\mu + {\delta _t}} \right) – 5\left( {\mu + {\delta _t}} \right)} \right]} \right) \cdot \left( {\frac{\mu }{{\mu + {\delta _t}}}} \right)\)
\(= \left( {\exp \left[ { – 5\left( {0.01 + 0.06} \right) – 5\left( {0.01 + 0.05} \right)} \right]} \right) \cdot \left( {\frac{{0.01}}{{0.01 + 0.04}}} \right)\)
\(= 0.104409\) |
|
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = {}_{\left. m \right|}^2{A_x} = {}_m^2{E_x} \cdot {}^2{{\bar A}_{x + m}}\)
\(E\left[ {{Z^2}} \right] = \left( {\exp \left[ { – 5\left( {\mu + 2{\delta _t}} \right) – 5\left( {\mu + 2{\delta _t}} \right)} \right]} \right) \cdot \left( {\frac{\mu }{{\mu + 2{\delta _t}}}} \right)\)
\(= \left( {\exp \left[ { – 5\left( {0.01 + 0.12} \right) – 5\left( {0.01 + 0.1} \right)} \right]} \right) \cdot \left( {\frac{{0.01}}{{0.01 + 0.08}}} \right)\)
\(= 0.033466\) |
|
\(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2} = 0.033466 – {0.104409^2} = 0.022565\) |
| Jawaban |
d. 0,023 |
