Ujian profesi Aktuaris A10 – Matematika Keuangan yang diselenggarakan oleh PAI merupakan salah satu mata ujian dari tujuh mata ujian untuk memperoleh gelar ASAI. Ujian A10 berkaitan dengan teori-teori dasar suku bunga, nilai akumulasi, anuitas, amortisasi, sinking fund, investasi, dan obligasi. Dalam menghadapi ujian ini, tidak hanya konsep time value of money, pemodelan soal ke dalam bentuk matematika, tetapi dasar-dasar konsep matematika yang sering digunakan dalam penyelesaian permasalah soal.
Tulisan ini akan mencoba menjelaskan beberapa konsep yang sering dilupakan yang diambil berdasarkan pengalaman penulis selama mengajar untuk mata kuliah matematika keuangan ataupun ujian A10. Konsep pertama adalah eksponensial dan logaritma. Konsep eksponensial dan logaritma umum digunakan dalam menyelesaikan soal-soal A10 terutama pada sub topic bunga dan force of interest (\(\delta \)). Contohnya bila diberikan suatu nilai force of interest, pada umumnya kita akan diminta untuk mencari nilai dari bunga efektif dimana
\(\delta = \ln (1 + i)\)
Sehingga untuk menyelesaikan persoalan tersebut maka teknik yang digunakan adalah teknik eksponensial dimana dilakukan eksponensial untuk dua ruas untuk menghilangkan tanda ln pada nilai \(1 + i\)
\(\delta = \ln (1 + i)\) \({e^\delta } = {e^{\ln (1 + i)}}\) \(\to \) ingat \({e^{\ln x}} = x\) \({e^\delta } = 1 + i\) \({e^\delta } – 1 = i\)
Selanjutnya adalah konsep logaritma. Umumnya konsep logaritma banyak digunakan dalam menghitung suatu nilai waktu pada kasus nilai akumulatif ataupun anuitas dari pembayaran. Sebagai contoh menentukan watktu investasi pertama sama dengan dua kali investasi kedua pada soal A10 No.25 April 2019. Pada soal ini diberikan dua investasi yang berkembang dengan bunga efektif 8% dan 4%, dengan nilai awal investasi kedua 1.5 investasi pertama. Maka untuk menentukan nilai t perlu digunakan teknik logaritma dimana
\(A(0) \cdot {(1 + 0.08)^t} = 2 \cdot \left( {1.5A(0) \cdot {{(1 + 0.05)}^t}} \right)\) \({(1 + 0.08)^t} = 3 \cdot {(1 + 0.05)^t}{\rm{ }}\) \({\rm{ln(1}}{\rm{.08}}{{\rm{)}}^t} = \ln \left( {3 \cdot {{(1.05)}^t}} \right) \to \) Ingat \({\rm{ln (a}} \cdot {\rm{b) = ln (a) + ln(b)}}\) \({\rm{ln(1}}{\rm{.08}}{{\rm{)}}^t} = \ln \left( 3 \right) + \ln {\left( {1.05} \right)^t}\) Ingat \({\rm{ln (a}}{{\rm{)}}^b}{\rm{ = b ln(a)}}\) \(t = \frac{{\ln (1.08) – \ln (1.05)}}{{\ln (3)}} = 29.1\)
Konsep ketiga adalah persamaan kuadrat. Teknik persamaan kuadrat sering digunakan dalam menyelesaikan beberapa permasalahan pada ujian A10. Lagkah-langkah yang harus dipahami oleh mahasiswa adalah bagaimana merubah bentuk model matematika ke persamaan kuadrat dan kemudian mencari nilai-nilai akar persamaan kuadrat tersebut. Pada mata ujian A10 matematika keuangan No.25 Agustus 2019. Pada soal tersebut dikatakan nilai kini dari pembayaran 100 pada tahun ke n dan 100 pada tahun ke 2n adalah 100, dengan bunga efektif 10% tentukan nilai n. Pada kasus ini, penggunaan konsep logaritma secara langsung tidak dapat digunakan, tetapi harus melalui proses pencarian nilai akar-akar persamaan kuadrat.
\(100{v^n} + 100{v^{2n}} = 100\)
\(\Leftrightarrow {v^n} + {v^{2n}} = 1{\rm{ }} \to \) misal \({v^n} = x\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + x – 1 = 0{\rm{ }} \to \) mencari nilai akar-akar dengan rumus (abc)
\({x_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt {{{( – 1)}^2} – 4(1)( – 1)} }}{2} = 0.618\) (memenuhi)
\({x_2} = \frac{{ – 1 – \sqrt {{{( – 1)}^2} – 4(1)( – 1)} }}{2} = – 1.618\) (tidak memenuhi karena \(v > 0{\rm{)}}\))
maka
\({v^n} = 0.618\)
\(\Leftrightarrow \ln {v^n} = \ln 0.618\)
\(\Leftrightarrow n = \frac{{\ln (0.618)}}{{\ln \left( {\frac{1}{{1.1}}} \right)}} = 5\)
Konsep terakhir yang sering digunakan adalah penggunaan deret aritmatika dan geometrik. Untuk deret aritmatika sering digunakan pada suatu kasus cicilan dengan pokok tetap dimana kita diminta untuk mencari nilai total bunga ataupun total pokok yang dibayarkan. Sedangkan untuk deret geometric umunya digunakan pada soal-soal yang berkaitan dengan perpetuitas yang nilainya meningkat setiap tahunnya sebesar . Adapaun untuk rumus-rumus pada dua deret ini dijabarkan sebagai berikut
| No | Topik | Aritmetika | Geometri berhingga | Geometri tak hingga |
| 1 | Suku Awal | \({U_1} = a\) | \({U_1} = a\) | \({U_1} = a\) |
| 2 | Suku Akhir | \(Un = a + (n – 1)b\) | \(Un = a{r^{n – 1}}\) | – |
| 3 | Jumlah Suku ke-n | \({S_n} = \frac{n}{2}\left( {2a + (n – 1)b} \right)\) | \({S_n} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{a(1 – {r^n})}}{{a(1 – r)}},r < 1\\ \frac{{a({r^n} – 1)}}{{a(r – 1)}},r > 1 \end{array} \right.\) | \({S_n} = \frac{a}{{1 – r}}\) |
