Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 4 - Juni 2014

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilita dan Statistika
Periode Ujian	:	Juni 2014
Nomor Soal	:	4

SOAL

Variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas densitas :

\(f(x) = a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}\) , untuk \({\rm{0 < }}x{\rm{ < }}\infty \)

Jika nilai mean dari X sama dengan 1, maka nilai dari \(\Pr (X < 1)\) sama dengan …

Diketahui	\(f(x) = a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}\) , untuk \({\rm{0 < }}x{\rm{ < }}\infty \)
Rumus yang digunakan	\(\int\limits_0^\infty {f(x)dx = 1} \)
Proses pengerjaan	\(\int\limits_0^\infty {f(x)dx = 1} \) \(\Leftrightarrow \int\limits_0^\infty {a{e^{ – x}} + b{e^{ – 2x}}dx = 1} \) \(\Leftrightarrow a + \frac{b}{2} = 1\)Diketahui juga bahwa \(E(X) = 1\) \(\Leftrightarrow \int\limits_0^\infty {ax{e^{ – x}}} + bx{e^{ – 2x}}dx = 1\) \(\Leftrightarrow a + \frac{b}{4} = 1\) Dengan persamaan \(a + \frac{b}{2} = 1\) dan \(a + \frac{b}{4} = 1{\rm{ }}\) didapat nilai \(a = 1,b = 0.\) Akan dicari nilai \(\Pr (X < 1)\) \(\Pr (X < 1) = \int\limits_0^1 {f(x)} dx = \int\limits_0^1 {{e^{ – x}}} dx = 0,63\)
Jawaban	B. 0,63