Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diberikan data sebagai berikut:
- Parameter \(\Lambda \) memiliki inverse gamma dengan fungsi kepadatan peluang
\(g\left( \lambda \right) = 500{\lambda ^{ – 4}}\exp \left[ { – \frac{{10}}{\lambda }} \right]\), \(\lambda > 0\) - Besarnya klaim memiliki distribusi eksponensial dengan fungsi kepadatan peluang
\(f\left( {\left. x \right|\Lambda = \lambda } \right) = {\lambda ^{ – 1}}\exp \left[ { – \frac{x}{\lambda }} \right]\), \(\lambda > 0,x > 0\)
Untuk seorang tertanggung, 2 klaim diamati dengan total klaim sebesar 50
Tentukan nilai ekspektasi untuk klaim berikutnya untuk tertanggung yang sama
- 5
- 12
- 15
- 20
- 25
| Diketahui | Diberikan data sebagai berikut:
Untuk seorang tertanggung, 2 klaim diamati dengan total klaim sebesar 50 |
| Rumus yang digunakan |
|
| Proses pengerjaan | \(\pi \left( {\left. \lambda \right|{x_1} = 25,{x_2} = 25} \right)\) \(= \left( {{\lambda ^{ – 1}}\exp \left[ { – \frac{{25}}{\lambda }} \right]} \right)\left( {{\lambda ^{ – 1}}\exp \left[ { – \frac{{25}}{\lambda }} \right]} \right)\left( {500{\lambda ^{ – 4}}\exp \left[ { – \frac{{10}}{\lambda }} \right]} \right)\) \(\pi \left( {\left. \lambda \right|{x_1} = 25,{x_2} = 25} \right) = 500{\lambda ^{ – 6}}xp\left[ { – \frac{{60}}{\lambda }} \right] \propto {\lambda ^{ – 6}}xp\left[ { – \frac{{60}}{\lambda }} \right]\) |
| Diperoleh PDF dari posterior berdistribusi inverse gamma dengan \(\alpha = 6 – 1 = 5\) dan \(E\left[ X \right] = \frac{{60}}{{5 – 1}} = 15\) sehingga diperoleh \(Var\left( \lambda \right) = \left( 3 \right){\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{27}}{{16}}\) | |
| Jawaban | C. 15 |