Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
A20 – Probabilitas dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
21 |
SOAL
Dalam memodelkan peubah acak banyak klaim dari suatu polis kecelakaan mobil selama periode tiga tahun, seorang aktuaris membuat asumsi sederhana bahwa untuk semua bilangan bulat ialah \(n \ge 0,\,{p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n}\,,\,{p_n}\) peluang bahwa seorang pemegang polis mengajukan klaim sebanyak n kali. Dengan menggunakan asumsi yang sama, berapa peluang bahwa seorang pemegang polis mengajukan lebih dari 1 kali klaim selama periode yang sama?
- 0,04
- 0,16
- 0,20
- 0,80
- 0,96
PEMBAHASAN
| Step 1 |
\(P(N > 1) = 1 – P(N \le 1)\)
\(P(N > 1) = 1 – \left( {P(N = 0) + P(N = 1)} \right)\)
\(P(N > 1) = 1 – \left( {{p_0} + {p_1}} \right)\) |
| Step 2 |
\({p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n}\,\)
\(5{p_{n + 1}} = {p_n}\,\)
\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {5{p_{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{p_n}\,} = 1\)
\(1 = 5\left( {{p_1} + {p_2} + {p_3} + …} \right)\)
\(1 = 5{p_1} + 5\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right) + 5\left( {\frac{1}{5}{p_2}} \right) + …\)
\(1 = 5{p_1} + 5\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right) + 5\left( {\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right)} \right) + …\) \(\to \) Deret geometri tak hingga
\(1 = \left( {\frac{{5{p_1}}}{{1 – \frac{1}{5}}}} \right)\)
\({p_1} = 0,16\)\({p_0} = 5{p_1}\)
\({p_0} = 5\left( {0,16} \right)\, = \,0,80\) |
| Step 3 |
\(P(N > 1) = 1 – \left( {{p_0} + {p_1}} \right)\)
\(P(N > 1) = 1 – \left( {0,80 + 0,16} \right)\)
\(P(N > 1) = 0,04\) |
| Jawaban |
a. 0,04 |
