Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Dalam memodelkan peubah acak banyak klaim dari suatu polis kecelakaan mobil selama periode tiga tahun, seorang aktuaris membuat asumsi sederhana bahwa untuk semua bilangan bulat ialah \(n \ge 0,\,{p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n}\,,\,{p_n}\) peluang bahwa seorang pemegang polis mengajukan klaim sebanyak n kali. Dengan menggunakan asumsi yang sama, berapa peluang bahwa seorang pemegang polis mengajukan lebih dari 1 kali klaim selama periode yang sama?
- 0,04
- 0,16
- 0,20
- 0,80
- 0,96
PEMBAHASAN
| Step 1 | \(P(N > 1) = 1 – P(N \le 1)\) \(P(N > 1) = 1 – \left( {P(N = 0) + P(N = 1)} \right)\) \(P(N > 1) = 1 – \left( {{p_0} + {p_1}} \right)\) |
| Step 2 | \({p_{n + 1}} = \frac{1}{5}{p_n}\,\)
\(5{p_{n + 1}} = {p_n}\,\)
\(\sum\limits_{n = 0}^\infty {5{p_{n + 1}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{p_n}\,} = 1\)
\(1 = 5\left( {{p_1} + {p_2} + {p_3} + …} \right)\)
\(1 = 5{p_1} + 5\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right) + 5\left( {\frac{1}{5}{p_2}} \right) + …\)
\(1 = 5{p_1} + 5\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right) + 5\left( {\frac{1}{5}\left( {\frac{1}{5}{p_1}} \right)} \right) + …\) \(\to \) Deret geometri tak hingga \(1 = \left( {\frac{{5{p_1}}}{{1 – \frac{1}{5}}}} \right)\) \({p_1} = 0,16\)\({p_0} = 5{p_1}\) \({p_0} = 5\left( {0,16} \right)\, = \,0,80\) |
| Step 3 | \(P(N > 1) = 1 – \left( {{p_0} + {p_1}} \right)\) \(P(N > 1) = 1 – \left( {0,80 + 0,16} \right)\) \(P(N > 1) = 0,04\) |
| Jawaban | a. 0,04 |