Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Suatu perpetuitas memberikan pembayaran setiap 6 bulan yang dibayarkan sejak awal tahun pertama. Pembayaran pertama sebesar 1 juta, kemudian pembayaran di periode berikutnya selalu meningkat sebesar 3% dari pembayaran di periode sebelumnya. Tentukan nilai sekarang dari perpetuitas ini jika diketahui tingkat bunga efektif tahunan sebesar 8% per tahun.
a. 111,02 juta
b. 111,59 juta
c. 112,09 juta
d. 112,59 juta
e. 113,09 juta
| Diketahui | Suatu perpetuitas awal dengan pembayaran per 6 bulan:
\(P_{0} = 1\) juta \(P_{1} = 1{,}03(1) = 1{,}03\) juta dst \(g = 3\%\) (per semester) \(i = 8\%\) |
| Rumus yang digunakan | Hubungan tingkat bunga efektif tahunan dengan tingkat bunga nominal m-thly: $$1 + i = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m}$$ Nilai sekarang (PV) perpetuitas awal yang meningkat secara geometri: $$PV = P_{0}\left(\frac{1 + j}{j – g}\right)$$ |
| Proses pengerjaan | Perpetuitas dibayarkan setiap 6 bulan, maka dicari dahulu tingkat bunga per 6 bulan (semester): $$1 + 0{,}08 = \left(1 + \frac{i^{(2)}}{2}\right)^{2}$$ Misalkan \(\frac{i^{(2)}}{2} = j\), maka diperoleh: $$j = (1{,}08)^{\frac{1}{2}} – 1 = 0{,}03923$$ Diperoleh nilai sekarang dari perpetuitas tersebut menggunakan tingkat bunga semester-an j: $$PV = \frac{1 + 0{,}03923}{0{,}03923 – 0{,}03}$$ Dengan demikian, diperoleh nilai sekarang dari perpetuitas tersebut sebesar 112,59 juta. |
| Jawaban | d. 112,59 juta |