Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diketahui dinamika harga suatu saham \(X_t\) mengikuti proses stokastik dengan persamaan berikut:
$$dX_{t} = 0{,}05\,X_{t}\,dt + 0{,}20\,X_{t}\,dB_{t}$$
Jika didefinisikan fungsi \(Y_{t} = \sqrt{X_{t}}\), tentukan persamaan dinamika untuk \(dY_{t}\) dengan menggunakan Lemma Itô!
a. \(dY_{t} = 0{,}025\,Y_{t}\,dt + 0{,}10\,Y_{t}\,dB_{t}\)
b. \(dY_{t} = 0{,}020\,Y_{t}\,dt + 0{,}10\,Y_{t}\,dB_{t}\)
c. \(dY_{t} = 0{,}050\,Y_{t}\,dt + 0{,}20\,Y_{t}\,dB_{t}\)
d. \(dY_{t} = 0{,}030\,Y_{t}\,dt + 0{,}05\,Y_{t}\,dB_{t}\)
e. \(dY_{t} = 0{,}015\,Y_{t}\,dt + 0{,}20\,Y_{t}\,dB_{t}\)
| Diketahui | Persamaan dinamika harga saham \(X_{t}\): $$dX_{t} = 0{,}05\,X_{t}\,dt + 0{,}20\,X_{t}\,dB_{t}$$ \(Y_{t} = \sqrt{X_{t}}\) |
| Rumus yang digunakan |
$$dY_{t} = (Y’_{t})\,dX_{t} + \tfrac{1}{2}(Y”_{t})\left(dX_{t}\right)^{2}$$
$$(dt)^{2} = 0, \qquad dt \, dB_{t} = 0, \qquad \left(dB_{t}\right)^{2} = dt$$ |
| Proses pengerjaan | Pertama, definisikan setiap komponen dalam persamaan Lemma Itô untuk \(Y_{t}\) dengan menerapkan aturan Itô:
Selanjutnya, substitusi setiap komponen ke dalam persamaan Itô tersebut: $$dY_{t} = (Y’_{t})\,dX_{t} + \tfrac{1}{2}(Y”_{t})\left(dX_{t}\right)^{2}$$ Terakhir, nyatakan ruas kanan yang masih dalam variabel \(X_t\) menjadi \(Y_t\): Diketahui \(Y_{t} = \sqrt{X_{t}} = X_{t}^{-0,5}\) $$dY_{t} = 0{,}020\,X_{t}^{0,5}\,dt + 0{,}1\,X_{t}^{0,5}\,dB_{t}$$ Jadi nilai persamaan dinamika untuk \(Y_t\) menggunakan Lemma Itô adalah: $$dY_{t} = 0{,}020\,Y_{t}\,dt + 0{,}10\,Y_{t}\,dB_{t}$$ |
| Jawaban | b. \(dY_{t} = 0{,}020\,Y_{t}\,dt + 0{,}10\,Y_{t}\,dB_{t}\) |