Pembahasan Ujian PAI: F10 – No. 01 – Mei 2026

$$S_{T} = 100e^{X} \quad X \sim N(0{,}06\,;\,0{,}04)$$

Maka diketahui:

$$S_{0} = 100, \qquad \mu = 0{,}06, \qquad \sigma^{2} = 0{,}04 \Leftrightarrow \sigma = 0{,}2$$

Persentil ke-75 distribusi normal standar adalah 0,674; atau dapat ditulis sebagai: \(\pi_{0,75} = 0,674\).

Misalkan nilai persentil ke-75 distribusi normal adalah \(\pi_{0,75}\), artinya:

$$P\left(X \leq \pi_{0,75}\right) = 0{,}75$$

atau

$$\Phi\left(\pi_{0,75}\right) = 0{,}75$$

Untuk distribusi normal standar:

$$N\left(\pi_{0,75}\right) = 0{,}75$$

Mengubah variabel dari distribusi lain ke distribusi normal baku:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$

$$P\left(S_{T} \leq k\right) = 0{,}75$$
$$P\left(100e^{X} \leq k\right) = 0{,}75$$
$$P\left(e^{X} \leq \frac{k}{100}\right) = 0{,}75$$
$$P\left(X \leq \ln\left(\frac{k}{100}\right)\right) = 0{,}75$$
$$P\left(\frac{X – \mu}{\sigma} \leq \frac{\ln\left(\frac{k}{100}\right) – \mu}{\sigma}\right) = 0{,}75$$
$$P\left(\frac{X – 0{,}06}{0{,}2} \leq \frac{\ln\left(\frac{k}{100}\right) – 0{,}06}{0{,}2}\right) = 0{,}75$$
$$P\left(Z \leq \frac{\ln\left(\frac{k}{100}\right) – 0{,}06}{0{,}2}\right) = 0{,}75$$
$$N\left(\frac{\ln\left(\frac{k}{100}\right) – 0{,}06}{0{,}2}\right) = 0{,}75$$

Karena pada soal telah diketahui bahwa Persentil ke-75 distribusi normal standar adalah 0,674; yaitu \(\pi_{0,75} = 0,674\) maka dapat dituliskan:

$$N\left(\pi_{0,75}\right) = 0{,}75; N(0{,}674) = 0{,}75$$

Dengan demikian, diperoleh:

$$\frac{\ln\left(\frac{k}{100}\right) – 0{,}06}{0{,}2} = 0{,}674$$
$$\ln\left(\frac{k}{100}\right) = (0{,}674 \times 0{,}2) + 0{,}06 = 0{,}1948$$
$$k = 100e^{0,1948}$$
$$k = 121{,}50679 \approx 122$$

Dengan demikian, diperoleh persentil ke-75 dari \(S_{T}\) bernilai sekitar 122.