Untuk dua kehidupan yang independen (40) dan (60), diberikan bahwa \(\mu_{x} = {1}/{(100 – x)}, 0 \leq x \leq 100\). Hitunglah \(E\left(T_{40:60}\right)\).
a. 28
b. 31
c. 34
d. 37
e. 40
Diketahui
Terdapat 2 kehidupan independen: (40) dan (60)
Force of mortality:
$$\mu_{x} = \frac{1}{100 – x}, \qquad 0 \leq x \leq 100$$
Rumus yang digunakan
Formula ekspektasi dari variabel acak future lifetime:
$$E(T_{x}) = \int_{0}^{\infty} {}_{t}p_{x}\,dt$$
Formula ekspektasi dari variabel acak future lifetime untuk 2 tertanggung independen status joint life:
$$E(T_{x:y}) = \int_{0}^{\infty} {}_{t}p_{xy}\,dt$$
dengan \({}_{t}p_{xy} = {}_{t}p_{x} \times {}_{t}p_{y}\)
Ekspektasi variabel acak future lifetime untuk 2 tertanggung independen status last survivor:
$$E\left(T_{\overline{x:y}}\right) = E(T_{x}) + E(T_{y}) – E\left(T_{x:y}\right)$$
Penerapan Hukum De Moivre (mortalitas seragam) pada penentuan peluang survival:
$${}_{t}p_{x} = \frac{\omega – x – t}{\omega – x}$$
dengan \(\omega\) merupakan batas usia (limiting age).
Proses pengerjaan
Disclaimer: Terdapat kekeliruan pada soal, seharusnya yang dihitung adalah pada status (last survivor) (jika melihat dari opsi jawaban yang ada).
Dari rumus force of mortality yang diberikan, diperoleh limiting age (\(\omega\)) sebesar 100. Dengan demikian rumus peluang survival pada ke-2 individu yakni:
– Pada (40):
$${}_{t}p_{40} = \frac{100 – 40 – t}{100 – 40} = \frac{60 – t}{60}$$
– Pada (60):
$${}_{t}p_{60} = \frac{100 – 60 – t}{100 – 60} = \frac{40 – t}{40}$$
Hitung complete life expectation setiap individu:
– Untuk (40):
$$E(T_{40}) = \int_{0}^{100-40} {}_{t}p_{40}\,dt = \int_{0}^{60} \frac{60 – t}{60}\,dt = 30$$
– Untuk (60):
$$E(T_{60}) = \int_{0}^{100-60} {}_{t}p_{60}\,dt = \int_{0}^{40} \frac{40 – t}{40}\,dt = 20$$
