Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Untuk nilai \(n\) tertentu, diketahui \(\bar{a}_{\overline{n}|} = n – 4\) dan \(\delta = 10\%\). Tentukan \(\int_{0}^{n} \bar{a}_{\overline{t}|}\,dt\)!
a. 35
b. 40
c. 45
d. 50
e. 55
| Diketahui | \(\bar{a}_{\overline{n}|} = n – 4\) \(\delta = 10\%\) |
| Rumus yang digunakan | Nilai PV anuitas kontinu: $$\bar{a}_{\overline{n}|} = \int_{0}^{n} v^{t}\,dt = \frac{1 – v^{t}}{\delta}$$ |
| Proses pengerjaan | PV dari anuitas kontinu merupakan jumlahan dari \(v^{t}\) setiap satuan waktu tak-berhingga kali per periode. Akan dicari nilai dari \(\int_{0}^{n} \bar{a}_{\overline{t}|}\,dt\) yaitu: $$\int_{0}^{n} \bar{a}_{\overline{t}|}\,dt = \int_{0}^{n} \frac{1 – v^{t}}{\delta}\,dt$$ Perhatikan bahwa ekspresi \(\int_{0}^{n} v^{t}\,dt\) merupakan anuitas kontinu. Dengan demikian, diperoleh $$\int_{0}^{n} \bar{a}_{\overline{t}|}\,dt = \frac{n – 0}{\delta} – \frac{n – 4}{\delta}$$ Subtitusi nilai \(\delta = 10\% = 0{,}1\) : Dengan demikian, diperoleh nilai \(\int_{0}^{n} \bar{a}_{\overline{t}|}\,dt\) sebesar 40. |
| Jawaban | b. 40 |