Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Dea membeli anuitas menaik (increasing annuity) dengan durasi 5 tahun seharga X. Dea akan menerima pembayaran sebesar 2 juta di akhir bulan pertama, 4 juta di akhir bulan kedua, dan besarnya pembayaran di akhir bulan-bulan selanjutnya akan selalu naik sebesar 2 juta per bulan. Tingkat bunga nominal tahunan diketahui sebesar 9%, dikonversi kuartalan. Hitunglah nilai X! (Pilihlah jawaban dalam jutaan terdekat!)
a. 2,680 miliar
b. 2,730 miliar
c. 2,780 miliar
d. 2,830 miliar
e. 2,880 miliar
| Diketahui | Suatu anuitas meningkat secara aritmatika (pembayaran rutin 2, 4, dst bertambah sebesar 2) setiap bulan; dengan:
|
| Rumus yang digunakan | Nilai sekarang (Present Value/PV) dari anuitas (akhir) yang meningkat secara aritmatika: $$PV = P\left(\frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i}\right) + \frac{G}{i}\left(\frac{1 – (1 + i)^{-n}}{i} – n(1 + i)^{-n}\right)$$ Hubungan antar-tingkat suku bunga nominal: $$\left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{m \times n} = \left(1 + \frac{i^{(t)}}{t}\right)^{t \times n}$$ |
| Proses pengerjaan | Akan dicari harga anuitas tersebut, yakni nilai sekarang (PV) anuitas itu sendiri. Pertama, tentukan tingkat suku bunga nominal bulanan, karena anuitas dibayarkan setiap bulan dan yang diketahui adalah suku bunga nominal kuartalan. $$\left(1 + \frac{i^{(4)}}{4}\right)^{4 \times 5} = \left(1 + \frac{i^{(12)}}{12}\right)^{12 \times 5}$$ Selanjutnya, hitung PV berdasarkan besaran yang sudah diketahui: $$PV = P\left(\frac{1 – (1 + j)^{-60}}{j}\right) + \frac{G}{j}\left(\frac{1 – (1 + j)^{-60}}{j} – 60(1 + j)^{-60}\right)$$ Jadi, harga anuitas meningkat tersebut adalah 2,730 miliar. |
| Jawaban | b. 2,730 miliar |