| Proses pengerjaan | Bentuk persamaan dasar prinsip ekuivalensi sesuai keterangan produk asuransi pada soal, dengan memisalkan besar manfaat B = 100.000 $$\mathrm{EPV}(\text{Benefit}) + \mathrm{EPV}(\text{Expenses}) = \mathrm{EPV}(\text{Premium})$$ $$B\,A^{1}_{[55]:\overline{10}|} + \tfrac{1}{2}B\,A_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right) + 0{,}22P + 0{,}03P\,\ddot{a}_{[55]:\overline{10}|} + 0{,}03 \cdot \tfrac{1}{2}P\,\ddot{a}_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
$$= P\,\ddot{a}_{[55]:\overline{10}|} + \tfrac{1}{2}P\,\ddot{a}_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$ Penjelasan per komponen: - EPV manfaat terdiri dari komponen:
$$B\,A^{1}_{[55]:\overline{10}|} + \tfrac{1}{2}B\,A_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
Perhatikan bahwa pada 10 tahun pertama, besar manfaat ialah 100.000 (yakni \(B\)), sehingga besarnya dikalikan dengan EPV asuransi berjangka 10 tahun pada tertanggung berusia 55. Setelah 10 tahun, manfaat menjadi 50.000 (yakni \(\tfrac{1}{2}B\)) sehingga dikalikan dengan EPV asuransi whole life pada usia 65 (yakni usia si tertanggung setelah 10 tahun, sebesar 55+10=65 tahun), kemudian dikalikan dengan EPV pure endowment berjangka 10 tahun pada usia 55 tahun. Komponen pure endowment ini yakni untuk “mendiskontokan” atau membawa nilai tersebut ke titik 0, yakni di usia 55. Perhatikan bahwa hasil kali \(\tfrac{1}{2}B A_{65}\) masih hanya EPV di usia 65, jadi supaya terbentuk EPV di usia 55 (yakni 10 tahun ke belakang), dikalikan dengan EPV Pure endowment tersebut. - EPV manfaat terdiri dari komponen:
$$0{,}22P + 0{,}03P\,\ddot{a}_{[55]:\overline{10}|} + 0{,}03 \cdot \tfrac{1}{2}P\,\ddot{a}_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
Untuk premi di tahun pertama saja, besar biaya ialah \(25\%\) atau 0,25 sehingga \(P\) (seharusnya) dikalikan dengan 0,25. Perhatikan bahwa besar biaya mulai akhir tahun selanjutnya (1, 2, …, 9) ialah 3% atau 0,3 sehingga dikalikan dengan EPV anuitas jiwa awal. Karena memakai anuitas awal, maka komponen ke-2 sudah memuat biaya 3% di titik 0 juga sehingga besar pengali \(P\) menjadi \(25\% − 3\% = 22\%\). Untuk tahun-tahun berikutnya setelah 10 tahun pertama, besar premi dibayar adalah setengah premi semula sehingga biayanya menjadi \(3\%\) dari setengah premi tersebut, dikalikan dengan EPV anuitas jiwa pada usia \(65\), kemudian dikalikan dengan EPV pure endowment berjangka 10 tahun pada usia 55 tahun. Ini mirip dengan konsep pada EPV benefit sebelumnya. - EPV premi, yakni:
$$P\,\ddot{a}_{[55]:\overline{10}|} + \tfrac{1}{2}P\,\ddot{a}_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
Premi dalam hal ini berupa pembayaran rutin selama tertanggung hidup, sehingga dikalikan dengan EPV anuitas jiwa. Konsepnya mirip seperti EPV benefit sebelumnya, yakni premi sebesar P pada 10 tahun pertamakemudian sebesar \(\tfrac{1}{2}P\) pada tahun-tahun berikutnya setelah 10 tahun.
Setelah persamaan dibentuk, selanjutnya dicari nilai setiap komponen perhitungan. - EPV asuransi berjangka:
$$A^{1}_{[55]:\overline{10}|} = A_{[55]} – A_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
$$= 0{,}23496 – 0{,}35477 \times 0{,}59366$$
$$= 0{,}02435$$ - EPV anuitas berjangka:
$$\ddot{a}_{[55]:\overline{10}|} = \ddot{a}_{[55]} – \ddot{a}_{65}\left({}_{10}E_{[55]}\right)$$
$$= 16{,}0658 – 13{,}5498 \times 0{,}59366$$
$$= 8{,}02183$$
Selanjutnya substitusi nilai-nilai yang diketahui pada persamaan ekuivalensi untuk memperoleh nilai premi (P): $$100.000(0{,}02435) + 50.000(0{,}35477)(0{,}59366) + 0{,}22P + 0{,}03(8{,}02183)P$$
$$+\, 0{,}03\left(\tfrac{1}{2}\right)(13{,}5498)(0{,}59366)P = 8{,}02183P + \tfrac{1}{2}(13{,}5498)(0{,}59366)P$$
$$\Leftrightarrow 2.435 + 10.531 + 0{,}22P + 0{,}24065P + 0{,}12066P = 12{,}04382P$$
$$\Leftrightarrow 12.966 = 11{,}46250P$$
$$\Leftrightarrow P = \frac{12.966}{11{,}46250}$$
$$P = 1.131{,}16659 \approx 1.131$$ Dengan pembulatan terdekat, diperoleh premi kotor tahunan awal (\(P\)) yakni sebesar 1.130. |
