Pembahasan Ujian PAI: A60 – No. 01 – Agustus 2026

• Formula varians dari peubah acak kerugian bersih pada saat penerbitan \((L_{0})\) untuk asuransi endowment:
  $$\mathrm{Var}(L_{0}) = B^{2}\left(1 + \frac{P}{d}\right)^{2}\left({}^{2}A_{x:\overline{n}|} – \left(A_{x:\overline{n}|}\right)^{2}\right)$$
  dengan \(P\) premi bersih tahunan per 1 satuan manfaat.
• Formula premi bersih tahunan asuransi endowment diskrit sepenuhnya menggunakan prinsip ekuivalensi (per satu satuan manfaat/benefit):
  $$P = \frac{A_{x:\overline{n}|}}{\ddot{a}_{x:\overline{n}|}}$$
• Hubungan antara EPV dari anuitas jiwa (whole life) dengan anuitas jiwa berjangka:
  $$A^{1}_{x:\overline{n}|} = A_{x} – A_{x+n}\left({}_{n}E_{x}\right)$$
  $${}^{2}A^{1}_{x:\overline{n}|} = {}^{2}A_{x} – {}^{2}A_{x+n}\left({}^{2}_{n}E_{x}\right)$$
• Hubungan antara momen pertama dan kedua dari Present Value (PV) asuransi seumur hidup (whole life) dengan asuransi berjangka:
  $$A^{1}_{x:\overline{n}|} = A_{x} – A_{x+n}\left({}_{n}E_{x}\right)$$
  $${}^{2}A^{1}_{x:\overline{n}|} = {}^{2}A_{x} – {}^{2}A_{x+n}\left({}^{2}_{n}E_{x}\right)$$

dengan \({}_{n}E_{x} = v^{n} {}_{n}p_{x}\) (rumus EPV dari asuransi pure endowment) dan
\({2}_{n}E_{x} = v^{2n} {}_{n}p_{x}\) (momen ke-2 dari PV asuransi pure endowment)

Akan dicari terlebih dahulu setiap komponen dalam perhitungan Varians peubah acak kerugian.

• EPV dari asuransi endowment sesuai soal:
  $$A_{[40]:\overline{20}|} = A^{1}_{[40]:\overline{20}|} + {}_{20}E_{[40]}$$
  $$= A_{[40]} – A_{60}\left({}_{20}E_{[40]}\right) + {}_{20}E_{[40]}$$
  $$= 0{,}12097 – 0{,}29028 \times 0{,}36667 + 0{,}36667$$
  $$= 0{,}38120$$
• EPV dari anuitas jiwa berjangka sesuai pada soal:
  $$\ddot{a}_{[40]:\overline{20}|} = \ddot{a}_{[40]} – \ddot{a}_{60}\left({}_{20}E_{[40]}\right)$$
  $$= 18{,}4596 – 14{,}9041 \times 0{,}36667$$
  $$= 12{,}99471$$
• Momen ke-2 dari PV asuransi endowment sesuai pada soal:
  $${}^{2}A_{[40]:\overline{20}|} = {}^{2}A^{1}_{[40]:\overline{20}|} + {}^{2}_{20}E_{[40]}$$
  $$= {}^{2}A_{[40]} – {}^{2}A_{60}\left({}^{2}_{20}E_{[40]}\right) + {}^{2}_{20}E_{[40]}$$
  $$= {}^{2}A_{[40]} – {}^{2}A_{60}\left({}_{20}E_{[40]}\,v^{20}\right) + {}_{20}E_{[40]}\,v^{20}$$
  $$= 0{,}02338 – 0{,}10834 \times \frac{0{,}36667}{1{,}05^{20}} + 0{,}36667\left(1{,}05^{-20}\right)$$
  $$= 0{,}14660$$

Selanjutnya akan ditentukan besaran premi bersih tahunan, yaitu:

$$P = \frac{A_{[40]:\overline{20}|}}{\ddot{a}_{[40]:\overline{20}|}} = \frac{0{,}38120}{12{,}99471} = 0{,}02933$$

Kemudian nilai varians \(L_{0}\) dihitung menggunakan komponen perhitungan yang sudah dicari sebelumnya:

$$\mathrm{Var}(L_{0}) = B^{2}\left(1 + \frac{P}{d}\right)^{2}\left({}^{2}A_{x:\overline{n}|} – \left(A_{x:\overline{n}|}\right)^{2}\right)$$
$$= 250.000^{2}\left(1 + \frac{0{,}02933}{0{,}05/1{,}05}\right)^{2}\left(0{,}14660 – 0{,}38120^{2}\right)$$
$$= 250.000^{2}\left(1 + 0{,}61593\right)^{2}\left(0{,}14660 – 0{,}14531\right)$$
$$= 209.966.499$$

Dengan demikian, diperoleh standard deviasi dari \(L_{0}\) yakni

$$\mathrm{SD}(L_{0}) = \sqrt{\mathrm{Var}(L_{0})}$$
$$= \sqrt{209.966.499}$$
$$= 14.490{,}22079 \approx 14.500$$

Jadi, standar deviasi dari peubah acak tingkat kerugian bersih \((L_{0})\) pada saat penerbitan yakni sebesar 14.500.