Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Total kerugian pada tahun \(k\) , \(k = 1,2,3, \ldots ,n\) memiliki fungsi distribusi dengan fungsi kepadatan (density function) sebagai berikut:
\(f\left( {x;k} \right) = \frac{{{k^k}{x^{k – 1}}\exp \left[ { – \frac{{kx}}{\theta }} \right]}}{{\Gamma \left( k \right){\theta ^k}}}\) ; \(x > 0\)
Misalkan \({X_k}\) adalah total kerugian yang diamati pada tahun \(k\). Ada mengamati \({X_1} = 7.000\), \({X_2} = 7.500\), \({X_3} = 8.000\), \({X_4} = 8.500\), \({X_5} = 9.000\) Tentukan estimasi maximum likelihood untuk \(\theta \)
- 7.667
- 7.833
- 8.000
- 8.167
- 8.333
Diketahui | Total kerugian pada tahun \(k\) , \(k = 1,2,3, \ldots ,n\) memiliki fungsi distribusi dengan fungsi kepadatan (density function) sebagai berikut:
\(f\left( {x;k} \right) = \frac{{{k^k}{x^{k – 1}}\exp \left[ { – \frac{{kx}}{\theta }} \right]}}{{\Gamma \left( k \right){\theta ^k}}}\) ; \(x > 0\) Misalkan \({X_k}\) adalah total kerugian yang diamati pada tahun \(k\). Ada mengamati \({X_1} = 7.000\), \({X_2} = 7.500\), \({X_3} = 8.000\), \({X_4} = 8.500\), \({X_5} = 9.000\) |
Rumus yang digunakan |
|
Proses pengerjaan |
|
\(\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right] = – \frac{{7000}}{\theta } – \ln \left( \theta \right) – \frac{{15,000}}{\theta } – \ln \left( {{\theta ^2}} \right)\) \(– \frac{{24,000}}{\theta } – \ln \left( {{\theta ^3}} \right) – \frac{{34,000}}{\theta } – \ln \left( {{\theta ^4}} \right) – \frac{{45,000}}{\theta } – \ln \left( {{\theta ^5}} \right)\) \(\frac{{d\ln \left[ {L\left( \theta \right)} \right]}}{{d\theta }} = \frac{{7000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{1}{\theta } + \frac{{15,000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{{2\theta }}{{{\theta ^2}}} + \frac{{24,000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{{3\theta }}{{{\theta ^3}}} + \frac{{34,000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{{4\theta }}{{{\theta ^4}}} + \frac{{45,000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{{5\theta }}{{{\theta ^5}}} = 0\) \(\frac{{125,000}}{{{\theta ^2}}} – \frac{{15}}{\theta } = 0\) \(\hat \theta = \frac{{125,000}}{{15}} = 8,333.33\) | |
Jawaban | E. 8.333 |