Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Misalkan variabel acak X memiliki fungsi pembangkit moment :
\({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \)Maka Pr(X = 2) sama dengan …
- 0
- 1/(2e)
- e/2
- ½
- \(\sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(2j – 1)}}}}{{j!}}} \)
| Diketahui | Misalkan variabel acak X memiliki fungsi pembangkit moment: \({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \) |
| Rumus yang digunakan | \(E({e^{tx}}) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \) \(\sum\limits_{x = 0}^\infty {{e^{tx}}} \Pr \left( {X = x} \right) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \) |
| Proses pengerjaan | \({M_X}(t) = \sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\frac{{{e^{(tj – 1)}}}}{{j!}}} \)
\(\Leftrightarrow E({e^{tx}}) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \)
\(\Leftrightarrow \sum\limits_{x = 0}^\infty {{e^{tx}}} \Pr \left( {X = x} \right) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{e^{tj}}\frac{{{e^{ – 1}}}}{{j!}}} \)
Dari persamaan di atas terlihat bahwa pmf dari variable acak X adalah
\(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{e^{ – 1}}}}{{x!}},x = 0,1,2,…\)
sehingga \(\Pr \left( {X = 2} \right) = \frac{{{e^{ – 1}}}}{{2!}} = \frac{1}{{(2e)}}\) |
| Jawaban | b. 1/(2e) |