Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
22 |
SOAL
Diketahui tingkat kematian (force of failure) untuk perokok adalah 2 kali lipat bukan perokok, untuk semua usia diatas 55 tahun. Bila variable acak untuk age-at-failure berdistribusi seragam dengan \(\omega = 75\), hitunglah nilai dari \(e_{65:55}^0\), jika \(\left( {65} \right)\) adalah bukan perokok dan \(\left( {55} \right)\) adalah perokok dan saling independen
- 5,34167
- 4, 34167
- 3,54167
- 2,45167
- 1,67341
| Diketahui |
- Tingkat kematian (force of failure) untuk perokok adalah 2 kali lipat bukan perokok, untuk semua usia diatas 55 tahun.
- Variable acak untuk age-at-failure berdistribusi seragam dengan \(\left( {65} \right)\) adalah bukan perokok dan \(\left( {55} \right)\) adalah perokok dan saling independen
|
| Rumus yang digunakan |
Asumsi Uniform menurut Hukum De Moivre
\({{l_x} = {{\left( {\omega – x} \right)}^\alpha },}\) \({{}_t{p_x} = {{\left( {\frac{{\omega – x – t}}{{\omega – x}}} \right)}^\alpha },}\) \({{\mu _x} = \frac{\alpha }{{\omega – x}}}\)
\(e_{xy}^0 = \int\limits_0^\infty {{}_t{p_{xy}}dt} = \int\limits_0^\infty {{}_t{p_x} \cdot {}_t{p_y}dt} \) |
| Proses pengerjaan |
- Distribusi uniform dengan \(\omega = 75\) sesuai hokum De Moivre diperoleh \({}_t{p_x} = \frac{{75 – x – t}}{{75 – x}}\) dan\({\mu _x} = \frac{1}{{75 – x}}\).
- Diketahui force of mortality dari perokok adalah dua kali dari force of mortality tidak perokok maka force of mortality perokok adalah \({\mu _y} = \frac{2}{{75 – x}}\) dengan \(\alpha = 2\) sehingga \({}_t{p_y} = {\left( {\frac{{75 – x – t}}{{75 – x}}} \right)^2}\)
|
|
\(e_{65:55}^0 = \int\limits_0^{10} {{}_{10}{p_{65:55}}dt} = \int\limits_0^{10} {{}_{10}{p_{65}} \cdot {}_{10}{p_{55}}dt} \)
\(e_{65:55}^0 = \int\limits_0^{10} {\left( {\frac{{10 – t}}{{10}}} \right){{\left( {\frac{{20 – t}}{{20}}} \right)}^2}dt} \)
Kita ubah menjadi untuk mempermudah proses pengerjaan
\(e_{65:55}^0 = \frac{1}{{4,000}}\int\limits_0^{10} {\left( {20 – t + 10 – 20} \right){{\left( {20 – t} \right)}^2}dt} \)
\(= \frac{1}{{4,000}}\left[ {\int\limits_0^{10} {{{\left( {20 – t} \right)}^3}dt} – \int\limits_0^{10} {10{{\left( {20 – t} \right)}^2}dt} } \right]\)
\(= \frac{1}{{4,000}}\left[ {\frac{{{{20}^4} – {{10}^4}}}{4} – \frac{{10\left( {{{20}^3} – {{10}^3}} \right)}}{3}} \right]\)
\(= 3.541667\) |
| Jawaban |
c. 3,54167 |
