Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 11 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	11

SOAL

Diberikan kumpulan data observasi sebagai berikut:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}5&7&{10}&{11}\end{array}}&{11}&{12}&{14}\end{array}}&{19}&{25}&{40}\end{array}\)

Metode kepadatan kernel (kernel density method) digunakan untuk smooth the empirical distribution. Sebuah kernel seragam (uniform kernel) dengan bandwidth 4 digunakan.
Tentukan median dari distribusi yang dihasilkan.

11,6
11,8
12,0
12,2
12,4

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Diberikan kumpulan data observasi sebagai berikut: \(\begin{array}{{20}{c}}{\begin{array}{{20}{c}}{\begin{array}{{20}{c}}5&7&{10}&{11}\end{array}}&{11}&{12}&{14}\end{array}}&{19}&{25}&{40}\end{array}\) Metode kepadatan kernel (kernel density method) digunakan untuk smooth the empirical distribution. Sebuah kernel seragam (uniform kernel) dengan bandwidth* 4 digunakan.
Rumus yang digunakan	\({k_{{x_i}}}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{{20}{c}}{\frac{1}{{2b}}}&{{x_i} – b \le x \le {x_i} + b}\\0&{\_lainnya}\end{array}} \right.\) \({K_{{x_i}}} = \left\{ {\begin{array}{{20}{c}}0&{x < {x_i} – b}&\,\\{\frac{{x – \left( {{x_i} – b} \right)}}{{2b}}}&{{x_i} – b \le x \le {x_i} + b}&\,\\1&{\_lainnya}&\,\end{array}} \right.\)
Proses pengerjaan	Median dari distribusi tersebut adalah m sedemikian hingga \(\hat F\left( m \right) = 0.5\). Probability density function (pdf) dari sebuah kernel yang berdistribusi seragam merupakan fungsi sepotong-sepotong yang konstan, sehingga fungsi distribusinya pun merupakan fungsi linier yang sepoton-sepotong. Seperti kita ketahui bahwa seluruh data observasi dan bandwith yang kita gunakan adalah bilangan bulat, maka distribusinya akan linier antara bilangan bulat. Untuk mendapatkan median dari distribusi yang dihasilkan, kita akan mencari nilai k sedemikian hingga \(F\left( k \right) < 0.5\) dan \(F\left( {k + 1} \right) > 0.5\). Selanjutnya kita akan melakukan interpolasi linier untuk memperoleh hasil yang diinginkan. Untuk memperoleh median dari distribusi tersebut, maka kita akan memulai perhitungan dari bagian tengah data observasi yang telah diurutkan, yaitu pada data observasi yang bernilai 11. Kernel seragam merupakan fungsi linear yang turun rate \(\frac{1}{{2\left( 4 \right)}} = \frac{1}{8}\) . Jadi pada data observasi 7, jilainya 1, pada data observasi 10 nilainya \(\frac{5}{8}\), pada data observasi 11 adalah \(\frac{4}{8}\) dan seterusnya
	\(\hat F\left( {11} \right) = 0.1\left( {1 + 1 + 0.625 + 0.5 + 0.5 + 0.375 + 0.125} \right) = 0.4125\) \(\hat F\left( {12} \right) = 0.1\left( {1 + 1 + 0.75 + 0.625 + 0.625 + 0.5 + 0.25} \right) = 0.475\) \(\hat F\left( {13} \right) = 0.1\left( {1 + 1 + 0.875 + 0.75 + 0.75 + 0.625 + 0.375} \right) = 0.5375\) Dari data di atas kita ketahui bahwa nilai \(\hat F\left( m \right) = 0.5\) berada di antara \(\hat F\left( {12} \right)\) dan \(\hat F\left( {13} \right)\) sehingga median dari distribusi yang dihasilkan adalah \(m = 12 + \frac{{0.5 – 0.475}}{{0.5375 – 0.475}} = 12.4\)
Jawaban	E. 12,4