Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2018 |
| Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Sebuah grup berisi 10.000 orang berumur x yang saling bebas, diketahui memiliki informasi sebagai berikut:
- Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yang hidup
- \({A_x} = 0,55\)
- \({}^2{A_x} = 0,33\)
- \(i = 0,05\)
Y adalah peubah cak dari nilai sekarang (present value) dari total pembayaran anuitas. Dengan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakin anuitas di aats dapat dibayarkan. Untuk suatu X yang berdistribusi normal, diketahui
\(\begin{array}{*{20}{c}} {P\left( { – 1,96 < X < 1,96} \right) = 0,95}&{P( – 1,645 < X < 1,645) = 0,90} \end{array}\)
- 97.700
- 96.675
- 95.650
- 94.625
- 93.600
| Diketahui |
Sebuah grup berisi 10.000 orang berumur x yang saling bebas, diketahui memiliki informasi sebagai berikut:
- Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yang hidup
- \({A_x} = 0,55\)
- \({}^2{A_x} = 0,33\)
- \(i = 0,05\)
Y adalah peubah cak dari nilai sekarang (present value) dari total pembayaran anuitas. Dengan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakin anuitas di aats dapat dibayarkan. Untuk suatu X yang berdistribusi normal, diketahui
\(\begin{array}{*{20}{c}} {P\left( { – 1,96 < X < 1,96} \right) = 0,95}&{P( – 1,645 < X < 1,645) = 0,90} \end{array}\)
|
| Rumus yang digunakan |
\(E\left[ {{Y_i}} \right] = {\ddot a_x} = \frac{{1 – {A_x}}}{d}\); \(Var\left( {{Y_i}} \right) = \frac{{{}^2{A_x} – {{\left( {{A_x}} \right)}^2}}}{{{d^2}}}\)
\(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\) |
| Proses pengerjaan |
- \(E\left[ {{Y_i}} \right] = 10,000{\ddot a_x} = 10,000\frac{{1 – {A_x}}}{d} = 10,000\frac{{1 – 0.55}}{{\frac{{0.05}}{{1.05}}}} = 94,500\)
- \(Var\left( {{Y_i}} \right) = 10,000\frac{{{}^2{A_x} – {{\left( {{A_x}} \right)}^2}}}{{{d^2}}} = 10,000\frac{{0.33 – {{\left( {0.55} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{0.05}}{{1.05}}} \right)}^2}}} = 121,275\)
|
|
\(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\)
\(0.95 = P\left( {Z \le \frac{{F – 9.45}}{{\sqrt {121,275} }}} \right)\)
\(1.96 = \frac{{F – 94,500}}{{\sqrt {121,275} }}\)
\(F = 95,182.56138\) |
|
Seharusnya \(P( – 1.645 < X < 1.645) = 0.95\) bukan \(P\left( { – 1.96 < X < 1.96} \right)\). Jadi seharusnya
\(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\)
\(0.95 = P\left( {Z \le \frac{{F – 9.45}}{{\sqrt {121,275} }}} \right)\)
\(1.645 = \frac{{F – 94,500}}{{\sqrt {121,275} }}\)
\(F = 95,072.86402\) |
| Jawaban |
c. 95.650 atau d. 94.625 |
