Pembahasan Ujian PAI: A60 - No. 9 - Mei 2018

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	Mei 2018
Nomor Soal	:	9

SOAL

Sebuah grup berisi 10.000 orang berumur x yang saling bebas, diketahui memiliki informasi sebagai berikut:

Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yang hidup
\({A_x} = 0,55\)
\({}^2{A_x} = 0,33\)
\(i = 0,05\)

Y adalah peubah cak dari nilai sekarang (present value) dari total pembayaran anuitas. Dengan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakin anuitas di aats dapat dibayarkan. Untuk suatu X yang berdistribusi normal, diketahui

\(\begin{array}{*{20}{c}} {P\left( { – 1,96 < X < 1,96} \right) = 0,95}&{P( – 1,645 < X < 1,645) = 0,90} \end{array}\)

97.700
96.675
95.650
94.625
93.600

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Sebuah grup berisi 10.000 orang berumur x yang saling bebas, diketahui memiliki informasi sebagai berikut: Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yang hidup \({A_x} = 0,55\) \({}^2{A_x} = 0,33\) \(i = 0,05\) Y adalah peubah cak dari nilai sekarang (present value) dari total pembayaran anuitas. Dengan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakin anuitas di aats dapat dibayarkan. Untuk suatu X yang berdistribusi normal, diketahui \(\begin{array}{*{20}{c}} {P\left( { – 1,96 < X < 1,96} \right) = 0,95}&{P( – 1,645 < X < 1,645) = 0,90} \end{array}\)
Rumus yang digunakan	\(E\left[ {{Y_i}} \right] = {\ddot a_x} = \frac{{1 – {A_x}}}{d}\); \(Var\left( {{Y_i}} \right) = \frac{{{}^2{A_x} – {{\left( {{A_x}} \right)}^2}}}{{{d^2}}}\) \(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\)
Proses pengerjaan	\(E\left[ {{Y_i}} \right] = 10,000{\ddot a_x} = 10,000\frac{{1 – {A_x}}}{d} = 10,000\frac{{1 – 0.55}}{{\frac{{0.05}}{{1.05}}}} = 94,500\) \(Var\left( {{Y_i}} \right) = 10,000\frac{{{}^2{A_x} – {{\left( {{A_x}} \right)}^2}}}{{{d^2}}} = 10,000\frac{{0.33 – {{\left( {0.55} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{{0.05}}{{1.05}}} \right)}^2}}} = 121,275\)
	\(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\) \(0.95 = P\left( {Z \le \frac{{F – 9.45}}{{\sqrt {121,275} }}} \right)\) \(1.96 = \frac{{F – 94,500}}{{\sqrt {121,275} }}\) \(F = 95,182.56138\)
	Seharusnya \(P( – 1.645 < X < 1.645) = 0.95\) bukan \(P\left( { – 1.96 < X < 1.96} \right)\). Jadi seharusnya \(P\left( {Y \le F} \right) = P\left( {Z \le \frac{{F – E\left[ {{Y_i}} \right]}}{{\sqrt {Var\left( {{Y_i}} \right)} }}} \right)\) \(0.95 = P\left( {Z \le \frac{{F – 9.45}}{{\sqrt {121,275} }}} \right)\) \(1.645 = \frac{{F – 94,500}}{{\sqrt {121,275} }}\) \(F = 95,072.86402\)
Jawaban	c. 95.650 atau d. 94.625