Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2015 |
| Nomor Soal |
: |
25 |
SOAL
Lagi – lagi di kota yang sama, Ngadirejo, bupati kota tersebut mendapatkan informasi dari asistennya yang merupakan seorang aktuaris, bahwa tiga perusahaan asuransi umum di kota tersebut mempunyai catatan banyak klaim, X sebagai berikut:
| Asuransi |
Banyak
Nasabah |
X = 0 |
X = 1 |
X = 2 |
X = 3 |
X = 4 |
| Berdikari |
3.000 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
0 |
0 |
| Pelopor |
2.000 |
0 |
1/6 |
2/3 |
1/6 |
0 |
| Quantum |
1.000 |
0 |
0 |
1/6 |
2/3 |
1/6 |
Bupati ingin mengetahui, apabila dipilih secara acak satu nasabah, nasabah tersebut mempunyai satu klaim pada tahun 1. Berapa ekspektasi banyak klaim untuk nasabah tersebut pada tahun berikutnya?
- 2,5
- 1,00
- 2,25
- 1,65
- 1,25
| Diketahui |
X : Banyak Klaim
B: Berdikari
P: Pelopor
Q: Quantum
| Asuransi |
Banyak
Nasabah |
X = 0 |
X = 1 |
X = 2 |
X = 3 |
X = 4 |
| Berdikari |
3.000 |
1/3 |
1/3 |
1/3 |
0 |
0 |
| Pelopor |
2.000 |
0 |
1/6 |
2/3 |
1/6 |
0 |
| Quantum |
1.000 |
0 |
0 |
1/6 |
2/3 |
1/6 |
|
| Rumus yang digunakan |
\(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = P[B|N = 1]\mu (1) + P[P|N = 1]\mu (2)\) |
| Proses pengerjaan |
\(P(B){\rm{ }} = \frac{{3.000}}{{3.000 + 2.000 + 1.000}} = \frac{1}{2}\)
\(P(P){\rm{ }} = \frac{1}{3}\)
\(P(Q){\rm{ }} = \frac{1}{6}\)
\(P[B|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{P(N = 1|B) \cdot P(B)}}{{P(N = 1|B) \cdot P(B){\rm{ }} + P(N = 1|P) \cdot P(P){\rm{ }} + P(N = 1|Q) \cdot P(Q)}}\)
\(P[B|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = \frac{3}{4}\)
\(P[P|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = \frac{1}{4}\)
\(P[Q|N = 1]{\rm{ }} = \frac{{\frac{1}{6} \cdot 0}}{{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 0}} = 0\)
Dengan peluang prio adalah \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\) dan \(\frac{1}{6}\), maka:
\(\mu (1){\rm{ }} = \frac{1}{3}(0){\rm{ }} + \frac{1}{3}(1){\rm{ }} + \frac{1}{3}(2){\rm{ }} = 1\)
\(\mu (2){\rm{ }} = \frac{1}{6}(1){\rm{ }} + \frac{2}{3}(2){\rm{ }} + \frac{1}{6}(3){\rm{ }} = 2\)
\(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = P[B|N = 1]\mu (1) + P[P|N = 1]\mu (2)\)
\(E[{X_2}|1]{\rm{ }} = \frac{3}{4}(1){\rm{ }} + \frac{1}{4}(2){\rm{ }} = 1,25\) |
| Jawaban |
E. 1,25 |
