Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
13 |
SOAL
Klaim asuransi kesehatan dan klaim asuransi gigi diasumsikan saling bebas dan mengikuti distribusi “compound” Poisson dengan informasi sebagai berikut:
| Tipe Klaim |
Distribusi Besaran Klaim |
\(\lambda \) |
| Klaim asuransi kesehatan |
Seragam (0, 1.000) |
2 |
| Klaim asuransi gigi |
Seragam (0, 200) |
3 |
Misalkan \(X\) ialah besarnya klaim yang diberikan pada suatu polis asuransi yang memberikan proteksi baik asuransi kesehatan dan gigi. Tentukan \(E\left[ {{{\left( {X – 100} \right)}_ + }} \right]\), ekspetasi besarnya klaim dengan deductible sebesar 100 dari suatu klaim
- 207
- 197
- 147
- 127
- 177
| Diketahui |
Klaim asuransi kesehatan dan klaim asuransi gigi diasumsikan saling bebas dan mengikuti distribusi “compound” Poisson dengan informasi sebagai berikut:
| Tipe Klaim |
Distribusi Besaran Klaim |
\(\lambda \) |
| Klaim asuransi kesehatan |
Seragam (0, 1.000) |
2 |
| Klaim asuransi gigi |
Seragam (0, 200) |
3 |
Misalkan \(X\) ialah besarnya klaim yang diberikan pada suatu polis asuransi yang memberikan proteksi baik asuransi kesehatan dan gigi. |
| Rumus yang digunakan |
Compound Poisson: \(\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2}\) dan \({f_X}\left( x \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{\lambda } \cdot {f_{{X_1}}}\left( {{x_1}} \right) + \frac{{{\lambda _2}}}{\lambda } \cdot {f_{{X_2}}}\left( {{x_2}} \right)\)
Uniform: \(f\left( x \right) = \frac{1}{{b – a}}\)
\(E\left[ {{{\left( {X – d} \right)}_ + }} \right] = \int\limits_d^\infty {\left( {x – d} \right)f\left( x \right)dx} \) |
| Proses pengerjaan |
\(\lambda = {\lambda _1} + {\lambda _2} = 2 + 3 = 5\) dan distribusi besaran klaim \({f_{{X_i}}}\left( {{x_i}} \right)\) berdistribusi uniform
\({f_X}\left( x \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{\lambda } \cdot {f_{{X_1}}}\left( {{x_1}} \right) + \frac{{{\lambda _2}}}{\lambda } \cdot {f_{{X_2}}}\left( {{x_2}} \right) = \frac{2}{5}\left( {\frac{1}{{b – a}}} \right) + \frac{3}{5} \cdot \left( {\frac{1}{{b – a}}} \right)\)
\({f_X}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {0.4\left( {\frac{1}{{1000}}} \right) + 0.6\left( {\frac{1}{{200}}} \right);}&{0 < x \le 200} \end{array}}\\ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.4\left( {\frac{1}{{1000}}} \right) + 0.6\left( 0 \right);}&{200 < x \le 1000} \end{array}} \end{array}} \right.\)
\({f_X}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 0.0034;\\ 0.0004; \end{array}&\begin{array}{l} 0 < x \le 200\\ 200 < x \le 1000 \end{array} \end{array}} \right.\) |
|
\(E\left[ {{{\left( {X – 100} \right)}_ + }} \right] = \int\limits_{100}^\infty {\left( {x – 100} \right)f\left( x \right)dx} \)
\(E\left[ {{{\left( {X – 100} \right)}_ + }} \right] = \int\limits_{100}^{200} {\left( {x – 100} \right)\left( {0.0034} \right)dx} + \int\limits_{200}^{1000} {\left( {x – 100} \right)\left( {0.0004} \right)dx} \)
\(E\left[ {{{\left( {X – 100} \right)}_ + }} \right] = \frac{{34}}{{10,000}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} – 100x} \right]_{100}^{200} + \frac{4}{{10,000}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} – 100x} \right]_{200}^{1000}\)
\(E\left[ {{{\left( {X – 100} \right)}_ + }} \right] = 17 + 160 = 177\) |
| Jawaban |
e. 177 |
