Pembahasan Ujian PAI: A60 – No. 9 – Juni 2016

1. Force of mortality pada usia 50 adalah \({\mu _{50 + t}} = \frac{1}{{50 – t}}\), untuk \(0 \le t < 50\)
2. Force of mortality pada usia 55 adalah \({\mu _{55 + t}} = 0,04\), untuk \(t > 0\)
3. Untuk single premi sebesar 60, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan sebuah polis yang membayarkan manfaat sebesar 100 pada saat kematian pertama kali dari (55) dan (50)
4. \(\delta = 0,05\)

• \(E\left[ L \right] = {A_x} – P{\ddot a_x}\)
• \({}_t{p_x} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{x + s}}ds} } \right]\)
• \({}_t{p_{xy}} = {}_t{p_x} \cdot {}_t{p_y}\)

Kerugian akan terjadi apabila kematian terjadi sebelum waktu 10.21651. Maka peluang hidupnya adalah

• Usia 50
  \({}_t{p_{50}} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{50 + s}}ds} } \right] = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {\left( {\frac{1}{{50 – s}}} \right)ds} } \right]\) \(\begin{array}{*{20}{c}}{{}_t{p_{50}} = \exp \left[{\int\limits_{50}^{50 – t} {\frac{1}{u}du} }\right]}&{{\rm{misal\_}}50 – s = u \Rightarrow – ds = du}\end{array}\) \({}_t{p_{50}} = \exp \left[ {\ln \left( {50 – t} \right) – \ln \left( {50} \right)} \right]\) \({}_t{p_{50}} = \frac{{50 – t}}{{50}}\) \({}_{10.21651}{p_{50}} = \frac{{50 – 10.21651}}{{50}}\)
• Usia 55
  \({}_t{p_{55}} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{55 + s}}ds} } \right] = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {0.04ds} } \right]\) \({}_t{p_{55}} = \exp \left[ { – 0.04t} \right]\) \({}_{10.21651}{p_{55}} = \exp \left[ { – 0.04\left( {10.21651} \right)} \right]\)

Jadi, perusahaan mengalami kerugian (positive loss) jika
\({}_t{p_{50:55}} = {}_t{p_{50}} \cdot {}_t{p_{55}} = \left( {\frac{{50 – 10.21651}}{{50}}} \right)\left( {\exp \left[ { – 0.04\left( {10.21651} \right)} \right]} \right) = 0.4712\)