Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
9 |
SOAL
Sepasang suami-istri usia 55 dan 50, dengan independent future lifetimes, diberikan sebagai berikut:
- Force of mortality pada usia 50 adalah \({\mu _{50 + t}} = \frac{1}{{50 – t}}\), untuk \(0 \le t < 50\)
- Force of mortality pada usia 55 adalah \({\mu _{55 + t}} = 0,04\), untuk \(t > 0\)
- Untuk single premi sebesar 60, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan sebuah polis yang membayarkan manfaat sebesar 100 pada saat kematian pertama kali dari (55) dan (50)
- \(\delta = 0,05\)
Hitunglah probabilitas dimana perusahaan asuransi tidak mengalami kerugian pada polis tersebut (pembulatan terdekat)
- 0,45
- 0,47
- 0,49
- 0,51
- 0,53
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
| Diketahui |
Sepasang suami-istri usia 55 dan 50, dengan independent future lifetimes, diberikan sebagai berikut:
- Force of mortality pada usia 50 adalah \({\mu _{50 + t}} = \frac{1}{{50 – t}}\), untuk \(0 \le t < 50\)
- Force of mortality pada usia 55 adalah \({\mu _{55 + t}} = 0,04\), untuk \(t > 0\)
- Untuk single premi sebesar 60, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan sebuah polis yang membayarkan manfaat sebesar 100 pada saat kematian pertama kali dari (55) dan (50)
- \(\delta = 0,05\)
|
| Rumus yang digunakan |
- \(E\left[ L \right] = {A_x} – P{\ddot a_x}\)
- \({}_t{p_x} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{x + s}}ds} } \right]\)
- \({}_t{p_{xy}} = {}_t{p_x} \cdot {}_t{p_y}\)
|
| Proses pengerjaan |
Pertama kita tentukan waktu dimana kerugian adalah 0, dengan kata lain waktu dimana expected present value degan manfaat 100 bernilai 60
\(E\left[ L \right] = 100 \cdot \exp \left[ { – 0.05t} \right] – 60 = 0\)
\(\exp \left[ { – 0.05t} \right] = 0.6\)
\(t = – \frac{{\ln \left( {0.6} \right)}}{{0.05}} = 10.21651\)
Kerugian akan terjadi apabila kematian terjadi sebelum waktu 10.21651. Maka peluang hidupnya adalah
- Usia 50
\({}_t{p_{50}} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{50 + s}}ds} } \right] = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {\left( {\frac{1}{{50 – s}}} \right)ds} } \right]\)
\(\begin{array}{*{20}{c}}{{}_t{p_{50}} = \exp \left[{\int\limits_{50}^{50 – t} {\frac{1}{u}du} }\right]}&{{\rm{misal\_}}50 – s = u \Rightarrow – ds = du}\end{array}\)
\({}_t{p_{50}} = \exp \left[ {\ln \left( {50 – t} \right) – \ln \left( {50} \right)} \right]\)
\({}_t{p_{50}} = \frac{{50 – t}}{{50}}\)
\({}_{10.21651}{p_{50}} = \frac{{50 – 10.21651}}{{50}}\)
- Usia 55
\({}_t{p_{55}} = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {{\mu _{55 + s}}ds} } \right] = \exp \left[ { – \int\limits_0^t {0.04ds} } \right]\)
\({}_t{p_{55}} = \exp \left[ { – 0.04t} \right]\)
\({}_{10.21651}{p_{55}} = \exp \left[ { – 0.04\left( {10.21651} \right)} \right]\)
Jadi, perusahaan mengalami kerugian (positive loss) jika
\({}_t{p_{50:55}} = {}_t{p_{50}} \cdot {}_t{p_{55}} = \left( {\frac{{50 – 10.21651}}{{50}}} \right)\left( {\exp \left[ { – 0.04\left( {10.21651} \right)} \right]} \right) = 0.4712\) |
| Jawaban |
E. 0,53 (di kunci B. 0,47 mungkin yang dimaksud mengalami kerugian atau positive loss) |
[/showhide]
