Pembahasan Ujian PAI: A60 – No. 23 – Mei 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Matematika Aktuaria
Periode Ujian	:	Mei 2017
Nomor Soal	:	23

SOAL

Anda diberikan sebagai berikut:

1. Rate kematian untuk \(\left( x \right)\) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabel berikut:
   

   \(t\)	\({q_{x + t – 1}}\)	\({b_t}\)
   1	0,01	10
   2	0,03	10
   3	0,05	20

2. \(i = 0.05\)
3. Z adalah “present value” dari variabel acak untuk 3 asuransi “term life” pada dengan manfaat pada \(\left( x \right)\) tabel di atas dibayarkan pada akhir tahun kematian

Hitunglah \(Var\left( Z \right)\)

1. 16,26
2. 16,47
3. 16,78
4. 18,30
5. 18,81

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Diberikan sebagai berikut: Rate kematian untuk \(\left( x \right)\) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabel berikut: \(t\) \({q_{x + t – 1}}\) \({b_t}\) 1 0,01 10 2 0,03 10 3 0,05 20 \(i = 0.05\) Z adalah “present value” dari variabel acak untuk 3 asuransi “term life” pada dengan manfaat pada \(\left( x \right)\) tabel di atas dibayarkan pada akhir tahun kematian
Rumus yang digunakan	\(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2}\) \(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \) \(E\left[ {{Z^2}} \right] = \sum\limits_{k = 0}^{n – 1} {{{\left( {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}}} \right)}^2} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \) \({}_t{p_x} = \prod\limits_{k = 0}^{t – 1} {{p_{x + k}}} \)
Proses pengerjaan	\(E\left[ Z \right] = \sum\limits_{k = 0}^2 {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \) \(E\left[ Z \right] = 10\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)\left( 1 \right)\left( {0.01} \right) + 10{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^2}\left( {0.99} \right)\left( {0.03} \right)\) \(+ 20{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^3}\left( {0.99} \right)\left( {0.97} \right)\left( {0.05} \right)\) \(E\left[ Z \right] = 1.194169\) \(E\left[ {{Z^2}} \right] = \sum\limits_{k = 0}^2 {{{\left( {{b_{t + 1}} \cdot {v^{k + 1}}} \right)}^2} \cdot {}_k{p_x} \cdot {q_{x + k}}} \) \(E\left[ {{Z^2}} \right] = {10^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^2}\left( 1 \right)\left( {0.01} \right) + {10^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^4}\left( {0.99} \right)\left( {0.03} \right)\) \(+ {20^2}{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)^6}\left( {0.99} \right)\left( {0.97} \right)\left( {0.05} \right)\) \(E\left[ {{Z^2}} \right] = 17.682269\) \(Var\left( Z \right) = E\left[ {{Z^2}} \right] – {\left( {E\left[ Z \right]} \right)^2}\) \(Var\left( Z \right) = 17.682269 – {\left( {1.194169} \right)^2}\) \(Var\left( Z \right) = 16.256229\)
Jawaban	A. 16,26

[/showhide]