Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
10 |
SOAL
Suatu grup terdiri dari dua “independent lives” \(\left( x \right)\) dan \(\left( y \right)\), dimana \(x = 40\) dan \(y = 30\)
Diberikan sebagai berikut:
- Untuk \(\left( x \right)\), \({l_x} = 50 – x\) untuk \(0 \le x \le 50\)
- Untuk \(\left( y \right)\), \({l_y} = 100 – y\) untuk \(0 \le y \le 100\)
Hitunglah “expected” usia kematian untuk kematian pertama
- Kurang dari 44,0
- Paling sedikit 44,0 tetapi kurang dari 44,5
- Paling sedikit 44,5 tetapi kurang dari 45,0
- Paling sedikit 45,0 tetapi kurang dari 45,5
- Paling sedikit 45,5
| Diketahui |
Suatu grup terdiri dari dua “independent lives” \(\left( x \right)\) dan \(\left( y \right)\), dimana \(x = 40\) dan \(y = 30\)
Diberikan sebagai berikut:
- Untuk \(\left( x \right)\), \({l_x} = 50 – x\) untuk \(0 \le x \le 50\)
- Untuk \(\left( y \right)\), \({l_y} = 100 – y\) untuk \(0 \le y \le 100\)
|
| Rumus yang digunakan |
- \({}_t{p_x} = \frac{{{l_{x + t}}}}{{{l_x}}}\)
- \({}_t{p_{xy}} = {}_t{p_x} \cdot {}_t{p_y}\)
- \(e_{xy}^0 = \int\limits_0^\infty {{}_t{p_{xy}}dt} \)
|
| Proses pengerjaan |
- \({}_t{p_x} = {}_t{p_{40}} = \frac{{50 – 40 – t}}{{50 – 40}} = 1 – \frac{t}{{10}}\)
- \({}_t{p_y} = {}_t{p_{30}} = \frac{{50 – 30 – t}}{{50 – 30}} = 1 – \frac{t}{{20}}\) (mengikuti batas nilai $x$)
- \({}_t{p_{xy}} = {}_t{p_{40:30}} = \left( {1 – \frac{t}{{10}}} \right)\left( {1 – \frac{t}{{20}}} \right) = 1 – \frac{{3t}}{{20}} + \frac{{{t^2}}}{{200}}\)
\(e_{xy}^0 = \int\limits_0^{10} {\left( {1 – \frac{{3t}}{{20}} + \frac{{{t^2}}}{{200}}} \right)dt} \)
\(e_{xy}^0 = 10 – \frac{{300}}{{40}} + \frac{{1000}}{{600}}\)
\(e_{xy}^0 = 4.167\)
Jadi, “expected” usia kematian untuk kematian pertama adalah 40 + 4.167 = 44.167 |
| Jawaban |
B. Paling sedikit 44,0 tetapi kurang dari 44,5 |
