Pembahasan-Soal-Ujian-Profesi-Aktuaris-1024x481 (3) pai

Pembahasan Ujian PAI: A70 – No. 25 – November 2016

by
with no comment
A70 - Pemodelan dan Teori RisikoAktuariaEdukasiPembahasan Ujian Profesi Aktuaris (Persatuan Aktuaris Indonesia / PAI)

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi : Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian : Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian : November 2016
Nomor Soal : 25

SOAL

Diberikan data sebagai berikut:

  1. Banyaknya klaim yang diamati selama periode 1 tahun berdistribusi Poisson dengan mean \(\theta \)
  2. The prior density adalah
    \(\pi \left( \theta \right) = \frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\) ,\(0 < \theta < k\)
  3. The unconditional probability dari observasi tidak terjadi klaim (zero claim) selama 1 tahun adalah 0,575

Hitunglah \(k\)

  1. 1,5
  2. 1,7
  3. 1,9
  4. 2,1
  5. 2,3
[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]
Diketahui Diberikan data sebagai berikut:

  1. Banyaknya klaim yang diamati selama periode 1 tahun berdistribusi Poisson dengan mean \(\theta \)
  2. The prior density adalah
    \(\pi \left( \theta \right) = \frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\) ,\(0 < \theta < k\)
  3. The unconditional probability dari observasi tidak terjadi klaim (zero claim) selama 1 tahun adalah 0,575
Rumus yang digunakan
  • Poisson: \(\Pr \left( {X = x} \right) = \frac{{{\lambda ^x}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{x!}}\)
  • The unconditional probability: \(f\left( x \right) = \int {f\left( {\left. x \right|\theta } \right)\pi \left( \theta \right)d\theta } \)
Proses pengerjaan Diketahui tidak terjadi klaim, maka \(\Pr \left( {X = 0} \right) = \frac{{{\lambda ^0}\exp \left[ { – \lambda } \right]}}{{0!}} = \exp \left[ { – \lambda } \right]\)
The unconditional probability

\(f\left( x \right) = \int\limits_0^k {\exp \left[ { – \theta } \right]\frac{{\exp \left[ { – \theta } \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}d\theta } \) \(0.575 = \frac{1}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}\int\limits_0^k {\exp \left[ { – 2\theta } \right]d\theta } \) \(0.575 = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 – \exp \left[ { – 2k} \right]}}{{1 – \exp \left[ { – k} \right]}}} \right)\) \(1.15 – 1.15\exp \left[ { – k} \right] = 1 – \exp \left[ { – 2k} \right]\) \({{x^2} – 1.15x + 0.15 = 0}\)   misal \({x = \exp \left[ { – k} \right]}\) \(x = \frac{{1.15 \pm \sqrt {{{\left( { – 1.15} \right)}^2} – 4\left( 1 \right)\left( {0.15} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{1.15 \pm 0.85}}{2}\)

Diperoleh \(x = 1\) atau \(x = 0.15\). Kita gunakan \(x = 0.15\) karena untuk \(x = 1\) maka \(k = 0\) \(0.15 = \exp \left[ { – k} \right]\) \(k = – \ln \left( {0.15} \right) = 1.9\)
Jawaban C. 1,9
[/showhide]

Leave A Comment

You must be logged in to post a comment