Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 1 - Agustus 2019

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	Agustus 2019
Nomor Soal	:	1

SOAL

Sebelum dikenakan potongan deductible, suatu kerugian asuransi kecelakaan diri mengikuti distribusi Pareto dengan \(\alpha = 3,7\) dan \(\theta = 120\). Diketahui besaran deductible = 25.
Hitung variansi besar klaim yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi tersebut untuk satu kali kejadian termasuk apabila pembayaran klaim sebesar nol.

Kurang dari 3.900
Sedikitnya 3.900 tapi kurang dari 4.000
Sedikitnya 4.000 tapi kurang dari 4.100
Sedikitnya 4.100 tapi kurang dari 4.200
Sedikitnya 4.200

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Sebelum dikenakan potongan deductible, suatu kerugian asuransi kecelakaan diri mengikuti distribusi Pareto dengan \(\alpha = 3,7\) dan \(\theta = 120\). Diketahui besaran deductible = 25.
Rumus yang digunakan	\(E\left[ {\left. {{{\left( {X – d} \right)}_ + }} \right\|X > d} \right] = \int\limits_d^\infty {\left( {x – d} \right)f\left( x \right)dx} = e\left( d \right) \cdot S\left( d \right)\) \(Var\left( {{Y^L}} \right) = E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] – {\left( {E\left[ {{Y^L}} \right]} \right)^2}\) \(E\left[ {\left( {{Y^L}} \right)} \right] = E\left[ X \right] – E\left[ {X \wedge d} \right]\) dan \(E\left[ {\left( {{Y^P}} \right)} \right] = \frac{{E\left[ X \right] – E\left[ {X \wedge d} \right]}}{{1 – F\left( d \right)}} = \frac{{E\left( d \right)S\left( d \right)}}{{S\left( d \right)}} = E\left( d \right)\) Distribusi Pareto: \(S\left( X \right) = {\left( {\frac{\theta }{{x + \theta }}} \right)^\alpha }\), \(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\), dan \(E\left[ {{X^2}} \right] = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}}\)
Proses pengerjaan	Diperoleh \(E\left[ {\left. {{{\left( {X – d} \right)}_ + }} \right\|X > d} \right]\) memiliki distribusi Pareto dengan parameter \(\alpha = 3.7\) dan \(\theta = 120 + 25 = 145\) Misalkan \(X\) random variabel untuk Loss, \({Y^L}\) random variabel untuk payment per loss, dan \(S\left( X \right) = p = \Pr \left( {X > 25} \right)\) peluang dari pembayaran di atas deductible sehingga \(p = {\left( {\frac{{120}}{{120 + 25}}} \right)^{3.7}} = 0.496488\)
	\(E\left[ {\left( {{Y^L}} \right)} \right] = pE\left[ {\left( {{Y^P}} \right)} \right] = 0.496488\left( {\frac{{145}}{{3.7 – 1}}} \right) = 26.663244\)
	\(E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] = pE\left[ {{{\left( {{Y^P}} \right)}^2}} \right] = 0.496488\left( {\frac{{2\left( {{{145}^2}} \right)}}{{\left( {3.7 – 1} \right)\left( {3.7 – 2} \right)}}} \right) = 4548.435817\)
	\(Var\left( {{Y^L}} \right) = E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] – {\left( {E\left[ {{Y^L}} \right]} \right)^2}\) \(Var\left( {{Y^L}} \right) = 4548.435817 – {26.663244^2}\) \(Var\left( {{Y^L}} \right) = 3,837.507236\)
Jawaban	a. Kurang dari 3.900