Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Agustus 2019 |
| Nomor Soal |
: |
1 |
SOAL
Sebelum dikenakan potongan deductible, suatu kerugian asuransi kecelakaan diri mengikuti distribusi Pareto dengan \(\alpha = 3,7\) dan \(\theta = 120\). Diketahui besaran deductible = 25.
Hitung variansi besar klaim yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi tersebut untuk satu kali kejadian termasuk apabila pembayaran klaim sebesar nol.
- Kurang dari 3.900
- Sedikitnya 3.900 tapi kurang dari 4.000
- Sedikitnya 4.000 tapi kurang dari 4.100
- Sedikitnya 4.100 tapi kurang dari 4.200
- Sedikitnya 4.200
| Diketahui |
- Sebelum dikenakan potongan deductible, suatu kerugian asuransi kecelakaan diri mengikuti distribusi Pareto dengan \(\alpha = 3,7\) dan \(\theta = 120\).
- Diketahui besaran deductible = 25.
|
| Rumus yang digunakan |
\(E\left[ {\left. {{{\left( {X – d} \right)}_ + }} \right|X > d} \right] = \int\limits_d^\infty {\left( {x – d} \right)f\left( x \right)dx} = e\left( d \right) \cdot S\left( d \right)\)
\(Var\left( {{Y^L}} \right) = E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] – {\left( {E\left[ {{Y^L}} \right]} \right)^2}\)
\(E\left[ {\left( {{Y^L}} \right)} \right] = E\left[ X \right] – E\left[ {X \wedge d} \right]\) dan \(E\left[ {\left( {{Y^P}} \right)} \right] = \frac{{E\left[ X \right] – E\left[ {X \wedge d} \right]}}{{1 – F\left( d \right)}} = \frac{{E\left( d \right)S\left( d \right)}}{{S\left( d \right)}} = E\left( d \right)\)
Distribusi Pareto: \(S\left( X \right) = {\left( {\frac{\theta }{{x + \theta }}} \right)^\alpha }\), \(E\left[ X \right] = \frac{\theta }{{\alpha – 1}}\), dan \(E\left[ {{X^2}} \right] = \frac{{2{\theta ^2}}}{{\left( {\alpha – 1} \right)\left( {\alpha – 2} \right)}}\) |
| Proses pengerjaan |
Diperoleh \(E\left[ {\left. {{{\left( {X – d} \right)}_ + }} \right|X > d} \right]\) memiliki distribusi Pareto dengan parameter \(\alpha = 3.7\) dan \(\theta = 120 + 25 = 145\)
Misalkan \(X\) random variabel untuk Loss, \({Y^L}\) random variabel untuk payment per loss, dan \(S\left( X \right) = p = \Pr \left( {X > 25} \right)\) peluang dari pembayaran di atas deductible sehingga
\(p = {\left( {\frac{{120}}{{120 + 25}}} \right)^{3.7}} = 0.496488\) |
|
\(E\left[ {\left( {{Y^L}} \right)} \right] = pE\left[ {\left( {{Y^P}} \right)} \right] = 0.496488\left( {\frac{{145}}{{3.7 – 1}}} \right) = 26.663244\) |
|
\(E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] = pE\left[ {{{\left( {{Y^P}} \right)}^2}} \right] = 0.496488\left( {\frac{{2\left( {{{145}^2}} \right)}}{{\left( {3.7 – 1} \right)\left( {3.7 – 2} \right)}}} \right) = 4548.435817\) |
|
\(Var\left( {{Y^L}} \right) = E\left[ {{{\left( {{Y^L}} \right)}^2}} \right] – {\left( {E\left[ {{Y^L}} \right]} \right)^2}\)
\(Var\left( {{Y^L}} \right) = 4548.435817 – {26.663244^2}\)
\(Var\left( {{Y^L}} \right) = 3,837.507236\) |
| Jawaban |
a. Kurang dari 3.900 |
