Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
2 |
SOAL
Kerugian yang dialami sebuah perusahaan diketahui berdistribusi frekuensi Poisson dengan rata-rata (mean) sebesar 2 per tahun dan besaran dari sebuah kerugian adalah 1,2 atau 3 dengan probabilitas masing-masing adalah \(\frac{1}{3}\).
Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent).
Sebuah polis asuransi akan memberikan pertanggungan terhadap semua kerugian yang dialami selama satu tahun dengan annual aggregate deductible sebesar 2.
Hitunglah ekspektasi pembayaran klaim dari polis asuransi tersebut.
- 2,00
- 2,36
- 2,45
- 2,81
- 2,96
| Diketahui |
- Kerugian yang dialami sebuah perusahaan diketahui berdistribusi frekuensi Poisson dengan rata-rata (mean) sebesar 2 per tahun dan besaran dari sebuah kerugian adalah 1,2 atau 3 dengan probabilitas masing-masing adalah \(\frac{1}{3}\).
- Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent).
- Sebuah polis asuransi akan memberikan pertanggungan terhadap semua kerugian yang dialami selama satu tahun dengan annual aggregate deductible sebesar 2.
|
| Rumus yang digunakan |
\({{p_n} = \Pr \left( {N = n} \right) = {f_N}\left( n \right),}\) \({{f_n} = \Pr \left( {X = n} \right) = {f_X}\left( n \right),}\) \({{g_n} = \Pr \left( {S = n} \right) = {f_s}\left( n \right)}\)
\(E\left[ {{{\left( {S – d} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge d} \right]\)
\(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\)
\(E\left[ {S \wedge d} \right] = h\sum\limits_{j = 0}^u {j{g_{hj}}} + d \cdot \Pr \left( {S \ge d} \right)\) dengan \(u = \frac{d}{h} – 1\) dan \(h\) faktor pengali
Distribusi poisson
\({a = 0,}\) \({b = \lambda ,}\) \({{p_0} = {e^{ – \lambda }},}\) \({{g_k} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} }\) |
| Proses pengerjaan |
Peluang aggregate loss sama dengan 0 atau 1
\({g_0} = {p_0} = \exp \left[ { – 2} \right] = 0.135335\)
\({g_1} = \sum\limits_{j = 1}^1 {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} = \lambda {f_1}{g_0} = 2\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\exp \left[ { – 2} \right]} \right) = 0.090224\)
Jadi peluang \(\Pr \left( {S \ge 2} \right) = 1 – 0.135335 – 0.090224 = 0.774441\) |
|
\(E\left( S \right) = E\left( N \right)E\left( X \right) = 2\left( 2 \right) = 4\)
\(E\left[ {S \wedge 2} \right] = 1 \cdot \sum\limits_{j = 0}^1 {j{g_{hj}}} + 2 \cdot \Pr \left( {S \ge 2} \right) = \left( 1 \right)\left( {0.090224} \right) + \left( 2 \right)\left( {0.774441} \right) = 1.639106\)
\(E\left[ {{{\left( {S – 2} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge 2} \right] = 4 – 1.639106 = 2.360894\) |
| Jawaban |
b. 2,36 |
