Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 2 - Mei 2017

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Pemodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	Mei 2017
Nomor Soal	:	2

SOAL

Kerugian yang dialami sebuah perusahaan diketahui berdistribusi frekuensi Poisson dengan rata-rata (mean) sebesar 2 per tahun dan besaran dari sebuah kerugian adalah 1,2 atau 3 dengan probabilitas masing-masing adalah \(\frac{1}{3}\).

Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent).

Sebuah polis asuransi akan memberikan pertanggungan terhadap semua kerugian yang dialami selama satu tahun dengan annual aggregate deductible sebesar 2.

Hitunglah ekspektasi pembayaran klaim dari polis asuransi tersebut.

2,00
2,36
2,45
2,81
2,96

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui	Kerugian yang dialami sebuah perusahaan diketahui berdistribusi frekuensi Poisson dengan rata-rata (mean) sebesar 2 per tahun dan besaran dari sebuah kerugian adalah 1,2 atau 3 dengan probabilitas masing-masing adalah \(\frac{1}{3}\). Banyaknya klaim dan besarnya klaim saling bebas (independent). Sebuah polis asuransi akan memberikan pertanggungan terhadap semua kerugian yang dialami selama satu tahun dengan annual aggregate deductible sebesar 2.
Rumus yang digunakan	\({{p_n} = \Pr \left( {N = n} \right) = {f_N}\left( n \right),}\) \({{f_n} = \Pr \left( {X = n} \right) = {f_X}\left( n \right),}\) \({{g_n} = \Pr \left( {S = n} \right) = {f_s}\left( n \right)}\) \(E\left[ {{{\left( {S – d} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge d} \right]\) \(E\left[ S \right] = E\left[ N \right]E\left[ X \right]\) \(E\left[ {S \wedge d} \right] = h\sum\limits_{j = 0}^u {j{g_{hj}}} + d \cdot \Pr \left( {S \ge d} \right)\) dengan \(u = \frac{d}{h} – 1\) dan \(h\) faktor pengali Distribusi poisson \({a = 0,}\) \({b = \lambda ,}\) \({{p_0} = {e^{ – \lambda }},}\) \({{g_k} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} }\)
Proses pengerjaan	Peluang aggregate loss sama dengan 0 atau 1 \({g_0} = {p_0} = \exp \left[ { – 2} \right] = 0.135335\) \({g_1} = \sum\limits_{j = 1}^1 {\left( {\frac{{\lambda j}}{k}} \right){f_j}{g_{k – j}}} = \lambda {f_1}{g_0} = 2\left( {\frac{1}{3}} \right)\left( {\exp \left[ { – 2} \right]} \right) = 0.090224\) Jadi peluang \(\Pr \left( {S \ge 2} \right) = 1 – 0.135335 – 0.090224 = 0.774441\)
	\(E\left( S \right) = E\left( N \right)E\left( X \right) = 2\left( 2 \right) = 4\) \(E\left[ {S \wedge 2} \right] = 1 \cdot \sum\limits_{j = 0}^1 {j{g_{hj}}} + 2 \cdot \Pr \left( {S \ge 2} \right) = \left( 1 \right)\left( {0.090224} \right) + \left( 2 \right)\left( {0.774441} \right) = 1.639106\) \(E\left[ {{{\left( {S – 2} \right)}_ + }} \right] = E\left[ S \right] – E\left[ {S \wedge 2} \right] = 4 – 1.639106 = 2.360894\)
Jawaban	b. 2,36