A20 - Probabilitas dan StatistikaAktuariaEdukasi

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 30 – Juni 2014

By Roslinda Damanik On Jan 15, 2020

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Probabilita dan Statistika
Periode Ujian	:	Juni 2014
Nomor Soal	:	30

SOAL

Misalkan X_1, X₂ , …, X₆ dan Y₁, Y₂ , …, Y₉ merupakan variabel acak Normal yang i.i.d. (independent identically distributed) dengan mean nol dan variance \({\sigma ^2} > 0\). Maka persentil ke-95 dari \(\frac{{\sum\limits_{i = 1}^6 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^9 {{Y^2}} }}\) sama dengan …

(dimana F_0,05(6,9) = 3,37 ; F_0,05(9,6) = 4,10)

2,25
2,31
3,37
5,06
5,90

Kunci Jawaban & Pembahasan

Roslinda Damanik 883 posts 6 comments

Saya merupakan lulusan Institut Teknologi Bandung jurusan Matematika. Saat ini saya bekerja di salah satu Perusahaan Asuransi Umum pada bagian Digital Development.

Diketahui	Mean =0 Variance \({\sigma ^2} > 0\)
Rumus yang digunakan	\(\Pr \left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le b} \right) = 0,95\)
Proses pengerjaan	Akan dicari nilai \(b\) yang membuat: \(\Pr \left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le b} \right) = 0,95\) Karena \({X_1},{X_2},…,{X_7}\) dan \({Y_1},{Y_2},…,{Y_{10}}\) masing-masing merupakan variable acak Normal dengan \(\left( {\mu = 0,{\sigma ^2}} \right)\) yang \(i.i.d\) \(\frac{{\frac{{\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{{\left( {{X_i} – 0} \right)}^2}} }}{{(7 – 1)}}} \right)}}{{{\sigma ^2}}}}}{{\frac{{\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {{{\left( {{Y_i} – 0} \right)}^2}} }}{{(10 – 1)}}} \right)}}{{{\sigma ^2}}}}} = \frac{9}{6}{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }}\) Berdistribusi \(F\) dengan \(df\) \({v_1} = 6,{v_2} = 9\). Karena: \(\Pr \left( {\frac{9}{6}{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} > {F_{0,05}}(6,9)} \right) = 0,05\) \(\Leftrightarrow \Pr \left( {{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le \frac{6}{9}{F_{0,05}}(6,9)} \right) = 0,95\) maka \(b = \frac{6}{9}{F_{0,05}}(6,9) = \frac{6}{9}(3,37) = 2,247\) Catatan: Jika variabel acak X ada sebanyak 6 yaitu \({X_1},{X_2},…,{X_6}{\rm{ }}\) dan Y ada sebanyak 9 yaitu \({Y_1},{Y_2},…,{Y_9}\) seharusnya yang diketahui adalah nilai \({F_{0,05}}(5,8)\) bukan nilai \({F_{0,05}}(6,9)\)
Jawaban	a. 2,25