Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Probabilita dan Statistika |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2014 |
| Nomor Soal |
: |
30 |
SOAL
Misalkan X1, X2 , …, X6 dan Y1, Y2 , …, Y9 merupakan variabel acak Normal yang i.i.d. (independent identically distributed) dengan mean nol dan variance \({\sigma ^2} > 0\). Maka persentil ke-95 dari \(\frac{{\sum\limits_{i = 1}^6 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^9 {{Y^2}} }}\) sama dengan …
(dimana F0,05(6,9) = 3,37 ; F0,05(9,6) = 4,10)
- 2,25
- 2,31
- 3,37
- 5,06
- 5,90
| Diketahui |
Mean =0
Variance \({\sigma ^2} > 0\) |
| Rumus yang digunakan |
\(\Pr \left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le b} \right) = 0,95\) |
| Proses pengerjaan |
Akan dicari nilai \(b\) yang membuat:
\(\Pr \left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le b} \right) = 0,95\)
Karena \({X_1},{X_2},…,{X_7}\) dan \({Y_1},{Y_2},…,{Y_{10}}\) masing-masing merupakan variable acak
Normal dengan \(\left( {\mu = 0,{\sigma ^2}} \right)\) yang \(i.i.d\)
\(\frac{{\frac{{\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {{{\left( {{X_i} – 0} \right)}^2}} }}{{(7 – 1)}}} \right)}}{{{\sigma ^2}}}}}{{\frac{{\left( {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {{{\left( {{Y_i} – 0} \right)}^2}} }}{{(10 – 1)}}} \right)}}{{{\sigma ^2}}}}} = \frac{9}{6}{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }}\)
Berdistribusi \(F\) dengan \(df\) \({v_1} = 6,{v_2} = 9\). Karena:
\(\Pr \left( {\frac{9}{6}{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} > {F_{0,05}}(6,9)} \right) = 0,05\)
\(\Leftrightarrow \Pr \left( {{\rm{ }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^7 {X_i^2} }}{{\sum\limits_{i = 1}^{10} {Y_i^2} }} \le \frac{6}{9}{F_{0,05}}(6,9)} \right) = 0,95\)
maka \(b = \frac{6}{9}{F_{0,05}}(6,9) = \frac{6}{9}(3,37) = 2,247\)
Catatan:
Jika variabel acak X ada sebanyak 6 yaitu \({X_1},{X_2},…,{X_6}{\rm{ }}\) dan Y ada sebanyak 9 yaitu \({Y_1},{Y_2},…,{Y_9}\) seharusnya yang diketahui adalah nilai \({F_{0,05}}(5,8)\) bukan nilai \({F_{0,05}}(6,9)\) |
| Jawaban |
a. 2,25 |
