Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Dalam sebuah model untuk Rumah sakit, biaya kamar adalah \(X\) dan biaya operasi adalah \(Y\) dimana \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3\) dan \(x \ge 0.\) Fungsi densitas gabungan \(X\) dan \(Y\) \({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y).\). Hitunglah \(E(Y – X)\) ekspektasi kelebihan biaya operasi dibandingkan biaya kamar.
- -3/4
- -1/2
- 0
- 1/4
- 3/4
| Diketahui | \({\rm{ }}f(x,y) = 0,3(x + y)\) \(0 \le y \le 2x + 1 \le 3{\rm{ }}\) dan \(x \ge 0.\) |
| Rumus yang digunakan | \(f(x) = \int {f(x,y)dy} \) \(f(y) = \int {f(x,y)dx} \) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X)\) \(E(X) = \int {x.f(x)dx} \) \(E(Y) = \int {y.f(y)dy} \) |
| Proses Pengerjaan |
Selanjutnya, \(E(x) = \int\limits_0^1 x (1.2{x^2} + 0.9x + 0.15)dx\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 {1.2{x^3} + 0.9{x^2} + 0.15x{\rm{ }}dx} \) \(= 0.3{x^4} + 0.3{x^3} + 0.075{x^2}|_0^1 = 0.675\) \(E(y) = \int\limits_0^1 y ( – 0.075{y^2} + 0.15y + 0.15)dy\) \(= {\rm{ }}\int\limits_0^1 { – 0.075{y^3} + 0.15{y^2} + 0.15y{\rm{ }}dy} \) \(= – 0.025{y^4} + 0.05{y^3} + 0.075{y^2}|_0^3 = 0.675\) \(E(Y – X) = E(Y) – E(X) = 0.675 – 0.675 = 0\) |
| Jawaban | c. 0 |