Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Berapa banyak pernyataan terkait dengan penjumlahan peubah acak yang saling bebas di bawah ini yang benar?
- Penjumlahan peubah acak Poisson yang saling bebas mempunyai distribusi Poisson
- Penjumlahan peubah acak eksponensial yang saling bebas mempunyai distribusi eksponensial
- Penjumlahan peubah acak chi-square yang saling bebas mempunyai distribusi chi-square
- Penjumlahan peubah acak normal yang saling bebas mempunyai distribusi normal
a. 0
b. 1
c. 2
d. 3
e. 4
PEMBAHASAN
| Misalkan | \(Y = {X_1} + {X_2} + ….\, + \,{X_n}\) |
| Step 1 | Poisson \(X \sim Poisson\,(\lambda )\) \(PGF(x) = {e^{\lambda (x – 1)}}\)\(PGF(y) = \left( {{e^{\lambda (x – 1)}}} \right)\left( {{e^{\lambda (x – 1)}}} \right)\,…\) \(PGF(y) = {\left( {{e^{\lambda (x – 1)}}} \right)^n}\) \(Y \ne \,Poisson\) |
| Step 2 | Eksponensial \(X \sim Eksponensial\,(\theta )\) \(MGF(x) = \frac{1}{{1 – \theta t}}\)\(MGF(y) = \left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)\left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)…\) \(MGF(y) = {\left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)^n}\) \(Y \sim Gamma\,(\alpha = n,\theta )\) \(Y\, \ne \,Eksponensial\) |
| Step 3 | Chi-square \(Y \sim Gamma\,(\alpha = \frac{1}{2},\theta = 2)\, = \,Chi – square(n = 1)\) \(MGF(x) = {\left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)^\alpha }\)\(MGF(y) = {\left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)^\alpha }{\left( {\frac{1}{{1 – \theta t}}} \right)^\alpha }…\) \(Y \sim Gamma\,(\alpha = \frac{1}{2},\theta = 2)\, = \,Chi – square(n = 1)\) |
| Step 4 | Normal \(Y \ne \,Normal\,\) |
| Kesimpulan | Maka hanya 1 pernyataan yang benar, yaitu pernyataan (3). |
| Jawaban | b. 1 |