Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2014 |
| Nomor Soal |
: |
4 |
SOAL
Sebuah asuransi seumur hidup sebesar 1 untuk seorang berusia 41 tahun, dengan manfaat meninggal yang dibayarkan di akhir tahun kematian.
Diketahui:
- \(i = 5\% \)
- \({p_{40}} = 0,9972\)
- \({A_{41}} – {A_{40}} = 0,00822\)
- \({}^2{A_{41}} – {}^2{A_{40}} = 0,00433\)
- \(Z\) adalah nilai sekarang variabel acak dari asuransi ini
Hitunglah nilai \(Var\left( Z \right)\)
- 0,02343
- 0,02434
- 0,02544
- 0,02655
- 0,02712
| Diketahui |
Asuransi seumur hidup sebesar 1 untuk seorang berusia 41 tahun, dengan manfaat meninggal yang dibayarkan di akhir tahun kematian.
- \(i = 5\% \)
- \({p_{40}} = 0,9972\)
- \({A_{41}} – {A_{40}} = 0,00822\)
- \({}^2{A_{41}} – {}^2{A_{40}} = 0,00433\)
- \(Z\) adalah nilai sekarang variabel acak dari asuransi ini
|
| Rumus yang digunakan |
Rumus rekursi: \({A_x} = v{q_x} + v{p_x}{A_{x + 1}}\) dan \({}^2{A_x} = {v^2}{q_x} + {v^2}{p_x}{}^2{A_{x + 1}}\) dengan \(v = \frac{1}{{1 + i}}\)
\(Var\left( Z \right) = {}^2{A_x} – {A_x}^2\) |
| Proses pengerjaan |
\({A_{41}} – {A_{40}} = 0.00822\)
\({A_{40}} = {A_{41}} – 0.00822 = v{q_{40}} + v{p_{40}}{A_{41}}\)
\({A_{41}}\left( {1 – v{p_{40}}} \right) = v{q_{40}} + 0.00822\)
\({A_{41}} = \frac{{v{q_{40}} + 0.00822}}{{1 – v{p_{40}}}}\)
\({A_{41}} = \frac{{\left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)\left( {1 – 0.9972} \right) + 0.00822}}{{1 – \left( {\frac{1}{{1.05}}} \right)\left( {0.9972} \right)}}\)
\({A_{41}} = 0.216496\) |
|
\({}^2{A_{41}} = \frac{{{v^2}{q_{40}} + 0.00822}}{{1 – {v^2}{p_{40}}}}\)
\({}^2{A_{41}} = \frac{{\left( {\frac{1}{{{{1.05}^2}}}} \right)\left( {1 – 0.9972} \right) + 0.00822}}{{1 – \left( {\frac{1}{{{{1.05}^2}}}} \right)\left( {0.9972} \right)}}\)
\({}^2{A_{41}} = 0.071926\) |
|
\(Var\left( Z \right) = {}^2{A_x} – {A_x}^2 = 0.071926 – {0.216496^2} = 0.025056\) |
| Jawaban |
c. 0,02544 |
