Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Sebuah kerugian mengikuti distribusi Pareto dengan satu parameter dengan parameter \(\alpha \) = 1 dan \(\theta \) = 1.000. Hitunglah simpangan baku dari rata-rata pembayaran perkerugian pada sebuah pertanggungan dengan batas polis (policy limit) sebesar 10.000.
- Kurang dari 2.500
- Paling sedikit 2.500 akan tetapi kurang dari 600
- Paling sedikit 2.600 akan tetapi kurang dari 700
- Paling sedikit 2.700 akan tetapi kurang dari 800
- Paling sedikit 800
| Diketahui | \(X \sim Pareto(\alpha = 1,{\rm{ }}\theta = 1000)\) |
| Rumus yang digunakan | \(E[{(X \wedge d)^k}]{\rm{ }} = \frac{{\alpha {\theta ^k}}}{{\alpha – k}} -\frac{{k{\theta ^\alpha }}}{{(\alpha – k){d^{\alpha – k}}}},k \ne \alpha \) |
| Proses pengerjaan | \(E[{(X \wedge 10.000)^2}]{\rm{ }} = \frac{{1 \times {{1000}^2}}}{{1 – 2}} – \frac{{2 \times {{1000}^1}}}{{(1 – 2){{1000}^{1 – 2}}}}\)
\(E[{(X \wedge 10.000)^2}]{\rm{ }} = – {1000^2} + 2 \times 1000 \times 10.000 = 19.000.000\)
Karena \(\alpha = 1\) maka \(E[(X \wedge 10.000)] = – \theta ln\left( {\frac{\theta }{{10.000 + \theta }}} \right) = – 1000{\rm{ }}ln\left( {\frac{{1000}}{{10.000 + 1000}}} \right) = 2.397,8953\) Variansinya dapat dihitung |
| Jawaban | E. Paling sedikit 2.800 |