Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Pemodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
April 2019 |
| Nomor Soal |
: |
29 |
SOAL
Besarnya klaim mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata \(\theta \). Untuk 80% risiko, diketahui bahwa \(\theta = 8\), dan untuk 20% risiko sisanya \(\theta = 2\). Dipilih secara acak suatu polis dan polis tersebut mempunyai satu klaim dengan besar 5 pada tahun pertama.
Tentukan estimasi Bayesian dari besar klaim di tahun kedua
- 3,72
- 5,22
- 8,62
- 7,20
- 9,22
| Diketahui |
- Besarnya klaim mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata \(\theta \).
- Untuk 80% risiko, diketahui bahwa \(\theta = 8\), dan untuk 20% risiko sisanya \(\theta = 2\). Dipilih secara acak suatu polis dan polis tersebut mempunyai satu klaim dengan besar 5 pada tahun pertama.
|
| Rumus yang digunakan |
- Posterior
\(\pi \left( {\left. \theta \right|x} \right) = \frac{{f\left( {x,\theta } \right)}}{{f\left( x \right)}}\) dengan \(f\left( x \right) = \sum {\left( {\left[ {\prod\limits_{j = 1}^n {f\left( {\left. {{x_j}} \right|\theta } \right)} } \right]\pi \left( \theta \right)} \right)} \) dan \(f\left( {x,\theta } \right) = f\left( {\left. {{x_1}, \ldots ,{x_n}} \right|\theta } \right)\pi \left( \theta \right) = \left[ {\prod\limits_{j = 1}^n {f\left( {\left. {{x_j}} \right|\theta } \right)} } \right]\pi \left( \theta \right)\)
- Estimasi Bayesian
\(E\left[ {\left. {{X_{n + 1}}} \right|X = x} \right] = \sum\limits_\theta {{\mu _{n + 1}}\left( \theta \right)\pi \left( {\left. \theta \right|x} \right)} \)
- Distribusi Eksponensial
\(f\left( x \right) = \frac{1}{\theta }{e^{ – \frac{x}{\theta }}}\) dan \(E\left[ X \right] = \mu = \theta \)
|
| Proses pengerjaan |
\(\pi \left( {\left. {\theta = 8} \right|{X_1} = 5} \right) = \frac{{f\left( {5;8} \right)}}{{f\left( 5 \right)}} = \frac{{f\left( {\left. {x = 5} \right|\theta = 8} \right)}}{{f\left( {\left. {x = 5} \right|\theta = 8} \right) + f\left( {\left. {x = 5} \right|\theta = 2} \right)}}\)
\(\pi \left( {\left. {\theta = 8} \right|{X_1} = 5} \right) = \frac{{0.125{e^{ – 5\left( {0.125} \right)}}\left( {0.8} \right)}}{{0.125{e^{ – 5\left( {0.125} \right)}}\left( {0.8} \right) + 0.5{e^{ – 5\left( {0.5} \right)}}\left( {0.2} \right)}}\)
\(\pi \left( {\left. {\theta = 8} \right|{X_1} = 5} \right) = 0.867035\) |
|
\(\pi \left( {\left. {\theta = 2} \right|{X_1} = 5} \right) = 1 – \pi \left( {\left. {\theta = 8} \right|{X_1} = 5} \right) = 1 – 0.867035 = 0.132965\) |
|
\(E\left[ {\left. {{X_2}} \right|X = 5} \right] = \sum\limits_\theta {{\mu _2}\left( \theta \right)\pi \left( {\left. \theta \right|5} \right)} \)
\(E\left[ {\left. {{X_2}} \right|X = 5} \right] = 8\left( {0.867035} \right) + 2\left( {0.132965} \right) = 7.202\) |
| Jawaban |
d. 7,20 |
