Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
3 |
SOAL
Suatu asuransi “special whole life” diterbitkan pada \(\left( x \right)\) . Manfaat kematian adalah 1 untuk tahun pertama dan 2 untuk tahun selanjutnya. Manfaat tambahan sebesar 2 ditambahkan jika meninggal karena kecelakaan:
- Manfaat dibayarkan pada “moment of death”.
- “force of mortality” meninggal karena kecelakaan adalah \(\mu _{x + t}^{\left( {ad} \right)} = 0,005\) , \(t \ge 0\)
- \(\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)} = 0,040\) , \(t \ge 0\)
- \(\delta = 0,06\)
Hitunglah “net single premium” untuk asuransi ini
- 0,777
- 0,812
- 0,827
- 0,844
- 0,862
| Diketahui |
Manfaat kematian adalah 1 untuk tahun pertama dan 2 untuk tahun selanjutnya. Manfaat tambahan sebesar 2 ditambahkan jika meninggal karena kecelakaan:
- Manfaat dibayarkan pada “moment of death”.
- “force of mortality” meninggal karena kecelakaan adalah \(\mu _{x + t}^{\left( {ad} \right)} = 0,005\) , \(t \ge 0\)
- \(\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)} = 0,040\) , \(t \ge 0\)
- \(\delta = 0,06\)
|
| Rumus yang digunakan |
- Prinsip Ekivalensi
- net single premium = Nilai saat ini dari semua manfaat asuransi yang didapatkan
- \({\bar A_x} = \int\limits_0^\infty {{v^t}{}_t{p_x}{\mu _{x + t}}dt} \)
- \({}_{\left. n \right|}{\bar A_x} = {}_n{E_x} \cdot {\bar A_{x + n}}\)
- \({}_n{E_x} = {v^n}p_x^{\left( \tau \right)}\)
- \({}_t{p_x} = {e^{ – \mu t}}\)
- \({v^t} = {e^{ – \delta t}}\)
|
| Proses pengerjaan |
\(E\left[ Z \right] = {{\bar A}_x} + {}_{\left. n \right|}{{\bar A}_x} + 2\bar A_x^{\left( {ad} \right)} = {{\bar A}_x} + {E_x} \cdot {{\bar A}_{x + 1}} + 2\bar A_x^{\left( {ad} \right)}\)
\(E\left[ Z \right] = \int\limits_0^\infty {{v^t}{}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)}dt} + vp_x^{\left( \tau \right)}\int\limits_0^\infty {{v^t}{}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)}dt} + 2\int\limits_0^\infty {{v^t}{}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + t}^{\left( {ad} \right)}dt} \)
\(E\left[ Z \right] = \left( {1 + vp_x^{\left( \tau \right)}} \right)\int\limits_0^\infty {{v^t}{}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + t}^{\left( \tau \right)}dt} + 2\int\limits_0^\infty {{v^t}{}_tp_x^{\left( \tau \right)}\mu _{x + t}^{\left( {ad} \right)}dt} \)
\(E\left[ Z \right] = \left( {1 + {e^{ – 0.06}}{e^{ – 0.04}}} \right)\int\limits_0^\infty {\left( {{e^{ – 0.06}}{e^{ – 0.04t}} \cdot 0.04} \right)dt} + 2\int\limits_0^\infty {\left( {{e^{ – 0.06}}{e^{ – 0.04t}} \cdot 0.005} \right)dt} \)
\(E\left[ Z \right] = \left( {1 + {e^{ – 0.1}}} \right)\left( {\frac{{0.04}}{{0.04 + 0.06}}} \right) + \frac{{2\left( {0.005} \right)}}{{0.04 + 0.06}}\)
\(E\left[ Z \right] = 0.861935\) |
| Jawaban |
E. 0,862 |
