Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Diketahui
- Banyaknya klaim mengikuti distribusi Poisson dengan mean \(\lambda \)
- Observasi selain 0 dan 1 telah dihapus dari data
- Data berisi jumlah pengamatan yang sama untuk observasi 0 dan 1
Tentukan besar \(\lambda \) menggunakan metode Maximum Likelihood (cari angka dengan pembulatan terdekat)
- 0,75
- 1,00
- 1,25
- 1,50
- 1,80
| Diketahui |
|
| Rumus yang digunakan | \({p_k} = \frac{{{\lambda ^k} \cdot {e^{ – \lambda }}}}{{k!}}\) Karena hanya ada dua observasi yaitu bernilai 0 dan 1 maka kita gunakan teknik Bernoulli yaitu \({L\left( q \right) = {{\left( {1 – q} \right)}^m}{q^n},}\) \({\frac{{d\ln \left[ {L\left( q \right)} \right]}}{{dq}} = 0}\) |
| Proses pengerjaan | \(L\left( q \right) = {\left( {1 – q} \right)^m}{q^n}\) \(\ln \left[ {L\left( q \right)} \right] = m\ln \left( {1 – q} \right) + n\ln \left( q \right)\) \(\frac{{d\ln \left[ {L\left( q \right)} \right]}}{{dq}} = – \frac{m}{{1 – q}} + \frac{n}{q} = 0\) \(mq – n + nq = 0\) \(\hat q = \frac{n}{{m + n}}\) |
| Dari rumus di atas diperoleh fitted probabilities sama dengan peluang sampel sehingga \(\Pr \left( {\left. {N = 0} \right|N < 2} \right) = \Pr \left( {\left. {N = 1} \right|N < 2} \right)\) \(\frac{{{p_0}}}{{{p_0} + {p_1}}} = \frac{{{p_1}}}{{{p_0} + {p_1}}}\) \({p_0} = {p_1}\) \({e^{ – \lambda }} = \lambda {e^{ – \lambda }}\) \(\lambda = 1\) | |
| Jawaban | b. 1,00 |