Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2015 |
| Nomor Soal |
: |
3 |
SOAL
\(Z\) adalah nilai sekarang dari variabel acak
(present value random variable) untuk
“15-year pure endowment” dengan benefit sebesar 1 pada \(\left( x \right)\)
- Force of mortality adalah konstan selama periode 15 tahun
- \(v = 0,9\)
- \(Var\left[ Z \right] = 0,065E\left[ Z \right]\)
Hitunglah \({q_x}\)
- 0,020
- 0,025
- 0,030
- 0,035
- 0,040
| Diketahui |
\(Z\) adalah nilai sekarang dari variabel acak (present value random variable) untuk “15-year pure endowment” dengan benefit sebesar 1 pada \(\left( x \right)\)
- Force of mortality adalah konstan selama periode 15 tahun
- \(v = 0,9\)
- \(Var\left[ Z \right] = 0,065E\left[ Z \right]\)
|
| Rumus yang digunakan |
Pure Endowment
\(E\left[ Z \right] = {{\bar A}_{x:\mathop {\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }\limits^1 }} = {v^n} \cdot {}_n{p_x}\)
\(Var\left[ Z \right] = {}^2{{\bar A}_{x:\mathop {\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }\limits^1 }} – {\left( {{{\bar A}_{x:\mathop {\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }\limits^1 }}} \right)^2} = {v^{2n}} \cdot {}_n{p_x} – {v^{2n}} \cdot {\left( {{}_n{p_x}} \right)^2}\)
Force of mortality adalah konstan
\({}_s{p_x} = {\left( {{p_x}} \right)^s}\) |
| Proses pengerjaan |
\(Var\left[ Z \right] = {v^{30}} \cdot {}_{15}{p_x} – {v^{30}} \cdot {}_{15}{p_x} \cdot {}_{15}{p_x} = 0.065E\left[ Z \right] = 0.065 \cdot {v^{15}} \cdot {}_{15}{p_x}\)
\({v^{30}} \cdot {}_{15}{p_x}\left( {1 – {}_{15}{p_x}} \right) = 0.065 \cdot {v^{15}} \cdot {}_{15}{p_x}\)
\(1 – {}_{15}{p_x} = \frac{{0.065}}{{{v^{15}}}}\)
\({}_{15}{p_x} = 1 – \frac{{0.065}}{{{{0.9}^{15}}}}\)
\({\left( {{p_x}} \right)^{15}} = 0.684299\)
\({p_x} = 0.975027\)
\({q_x} = 1 – {p_x} = 0.024973\) |
| Jawaban |
b. 0,025 |
