Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Juni 2016 |
| Nomor Soal |
: |
26 |
SOAL
Untuk suatu “20 tahun temporary life annuity due” dari manfaat 100 per tahun usia (65), diberikan:
- \(\begin{array}{*{20}{c}}{{\mu _x} = 0,001x}&{x \ge 65}\end{array}\)
- \(i = 0,05\)
- Y adalah present value variabel acak untuk anuitas ini
Hitunglah probabilitas bahwa Y kurang dari 1000 (pembulatan terdekat)
- 0,54
- 0,57
- 0,61
- 0,64
- 0,67
| Diketahui |
Untuk suatu “20 tahun temporary life annuity due” dari manfaat 100 per tahun usia (65), diberikan:
- \(\begin{array}{*{20}{c}}{{\mu _x} = 0,001x}&{x \ge 65}\end{array}\)
- \(i = 0,05\)
- Y adalah present value variabel acak untuk anuitas ini
|
| Rumus yang digunakan |
- \({\ddot a_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{1 – {v^n}}}{d}\)
- \({}_t{p_x} = \exp \left[ { – \int\limits_x^{x + t} {\mu \left( y \right)dy} } \right]\)
|
| Proses pengerjaan |
Untuk menentukan Y kurang dari 1000, maka suatu annuity-due harus kurang dari \(\frac{{1000}}{{100}} = 10\), sehingga:
\({{\ddot a}_{\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = \frac{{1 – {v^n}}}{d}\)
\(10 = \frac{{1 – {{1.05}^{ – n}}}}{{\frac{{0.05}}{{1.05}}}}\)
\(\frac{{10}}{{21}} = 1 – \frac{1}{{{{1.05}^n}}}\)
\({1.05^n} = \frac{{21}}{{21 – 10}}\)
\(n = \frac{{\ln \left( {\frac{{21}}{{11}}} \right)}}{{\ln \left( {1.05} \right)}} = 13.2532\)
Jadi, Y kurang dari 1000 jika kurang dari 13 pembayaran terjadi
Jika orang tersebut hidup kurang dari 13 tahun, maka
\({}_{13}{q_{65}} = 1 – \exp \left[ { – \int\limits_{65}^{78} {0.001sds} } \right] = 1 – \exp \left( { – 0.0005\left( {{{78}^2} – {{65}^2}} \right)} \right) = 0.605249\) |
| Jawaban |
C. 0,61 |
