Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Matematika Aktuaria |
| Periode Ujian |
: |
Mei 2017 |
| Nomor Soal |
: |
16 |
SOAL
Pada soal nomor 15, hitunglah nilai dari “single premium gross” untuk usia masuk (60,25)
- 31.500
- 32.500
- 33.500
- 34.500
- 35.500
| Diketahui |
Suatu perusahaan mengeluarkan produk asuransi “special single premium 3-year endowment”. Diketahui sebagai berikut:
- Manfaat meninggal 50.000, dibayarkan tiap akhir tahun kematian
- Manfaat “maturity” adalah 10.000
- Dengan mengikuti tabel mortalita, kematian berdistribusi “uniform” pada setiap tahun usia:
\({q_{60}} = 0,11\)
\({q_{61}} = 0,12\)
\({q_{62}} = 0,20\)
\({q_{63}} = 0,28\)
- \(i = 0,06\)
- Premi dibayarkan secara sekaligus (“single premium gross”) mengikuti prinsip “equivalence”
- Komisi adalah 30% dari premium. Tidak ada biaya lain.
|
| Rumus yang digunakan |
Asumsi uniform:
\({l_{x + t}} = {l_x} \cdot \left( {1 – {}_t{q_x}} \right)\)
\({l_{x + s}} = \left( {1 – s} \right){l_x} + s \cdot {l_{x + 1}}\)
\({}_t{d_x} = {l_x} – {l_{x + t}}\)
Prinsip ekuivalensi:
\(E\left[ {{}_0L} \right] = E\left[ Z \right] – P = 0a\)
\({A_{x:\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }} = A_{x:\left. {\overline {\, n \,}}\! \right| }^1 + {}_n{E_x} = \sum\nolimits_{k = 0}^{n – 1} {{b_{k + 1}} \cdot {v^{k + 1}} \cdot {}_{\left. k \right|}{q_x}} + {b_k} \cdot {v^n} \cdot {}_n{p_x}\)
\({}_{\left. k \right|}{q_x} = \frac{{{d_{x + k}}}}{{{l_x}}}\)
\({}_t{p_x} = \frac{{{l_{x + t}}}}{{{l_x}}}\) |
| Proses pengerjaan |
Untuk mendapat premi total kotor untuk (60.25) diperlukan tabel mortalitas untuk (60.25) Berdasarkan asumsi uniform maka diperoleh. Asumsikan \({l_{60}} = 1\)
| \(k\) |
\({l_{60 + k}}\) |
\({l_{60.25 + k}}\) |
\({d_{60.25 + k}}\) |
| 0 |
1.0000 |
0.9725 |
0.1092 |
| 1 |
0.8900 |
0.8633 |
0.1193 |
| 2 |
0.7832 |
0.7440 |
0.1613 |
| 3 |
0.6266 |
0.5827 |
|
| 4 |
0.4511 |
|
|
\({{}_{\left. 0 \right|}{q_{60.25}} = \frac{{{d_{60.25}}}}{{{l_{60.25}}}} = \frac{{0.1092}}{{0.9725}} = 0.112288}\)
\({{}_{\left. 1 \right|}{q_{60.25}} = \frac{{{d_{61.25}}}}{{{l_{60.25}}}} = \frac{{0.1193}}{{0.9725}} = 0.122632}\)
\({{}_{\left. 2 \right|}{q_{60.25}} = \frac{{{d_{62.25}}}}{{{l_{60.25}}}} = \frac{{0.1613}}{{0.9725}} = 0.165901}\)
\({{}_3{p_{60.25}} = \frac{{{l_{63.25}}}}{{{l_{60.25}}}} = \frac{{0.5827}}{{0.9725}} = 0.599178}\)
Nilai harapan harga sekarang manfaat tersebut adalah
\(E\left[ Z \right] = {A_{60.25:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }} = A_{60.25:\left. {\overline {\, 3 \,}}\! \right| }^1 + {}_3{E_{60.25}}\) \(= \sum\nolimits_{k = 0}^2 {50,000{v^{k + 1}} \cdot {}_{\left. k \right|}{q_{60.25}}} + 10,000{v^3} \cdot {}_3{p_{60.25}}\)
\(E\left[ Z \right] = 50,000\left( {v \cdot {}_{\left. 0 \right|}{q_{60.25}} + {v^2} \cdot {}_{\left. 1 \right|}{q_{60.25}} + {v^3} \cdot {}_{\left. 2 \right|}{q_{60.25}}} \right) + 10,000{v^3} \cdot {}_3{p_{60.25}}\)
\(E\left[ Z \right] = 50,000\left( {\frac{{0.112288}}{{1.06}} + \frac{{0.122632}}{{{{1.06}^2}}} + \frac{{0.165901}}{{{{1.06}^3}}}} \right) + 10,000\left( {\frac{{0.599178}}{{{{1.06}^3}}}} \right)\)
\(E\left[ Z \right] = 22,749.24\)
Berdasarkan prinsip ekuivalensi
\(E\left[ {{}_0L} \right] = E\left[ Z \right] – \left( {P – 0.3P} \right) = 0\)
\(P = \frac{{22,749.24}}{{0.7}} = 32,498.9138\) |
| Jawaban |
B. 32.500 |
