Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Permodelan dan Teori Risiko |
| Periode Ujian |
: |
November 2016 |
| Nomor Soal |
: |
19 |
SOAL
Dalam sebuah studi mortalitas selama 3 tahun diberikan data sebagai berikut:
| \({y_i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
| 1 |
1.000 |
20 |
| 2 |
1.400 |
14 |
| 3 |
2.000 |
10 |
\(S\left( 3 \right)\) diestimasi dengan taksiran Kaplan-Meier.
Dengan menggunakan formula
Greenwood, hitunglah variansi dari estimasi tersebut (
variance of the estimate).
- 0,000028
- 0,000029
- 0,000030
- 0,000031
- 0,000032
| Diketahui |
Dalam sebuah studi mortalitas selama 3 tahun diberikan data sebagai berikut:
| \({y_i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
| 1 |
1.000 |
20 |
| 2 |
1.400 |
14 |
| 3 |
2.000 |
10 |
\(S\left( 3 \right)\) diestimasi dengan taksiran Kaplan-Meier. |
| Rumus yang digunakan |
- Kaplan-Meier Product Limit: \(\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n}\left( t \right) = \prod\limits_{i = 1}^{j – 1} {\left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right)} = \left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right){S_n}\left( {t – 1} \right)}&{{y_{j – 1}} \le t < {y_j}} \end{array}\)
- Greenwood: \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( t \right)} \right) = {S_n}{\left( t \right)^2}\sum\limits_{{y_j} \le t}^j {\frac{{{s_j}}}{{{r_j}\left( {{r_j} – {s_j}} \right)}}} \)
|
| Proses pengerjaan |
\({S_n}\left( 3 \right) = \prod\limits_{i = 1}^3 {\left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right)} = \left( {\frac{{980}}{{1000}}} \right)\left( {\frac{{1386}}{{1400}}} \right)\left( {\frac{{1990}}{{2000}}} \right) = 0.965349\) |
|
\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = {S_n}{\left( 3 \right)^2}\sum\limits_{{y_j} \le t}^3 {\frac{{{s_j}}}{{{r_j}\left( {{r_j} – {s_j}} \right)}}} \)
\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = {0.965349^2}\left[ {\frac{{20}}{{\left( {1000} \right)\left( {980} \right)}} + \frac{{14}}{{\left( {1400} \right)\left( {1386} \right)}} + \frac{{10}}{{\left( {2000} \right)\left( {1990} \right)}}} \right]\)
\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = 0.000028\) |
| Jawaban |
A. 0,000028 |
