Pembahasan Ujian PAI: A70 - No. 19 - November 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	Permodelan dan Teori Risiko
Periode Ujian	:	November 2016
Nomor Soal	:	19

SOAL

Dalam sebuah studi mortalitas selama 3 tahun diberikan data sebagai berikut:

\({y_i}\)	\({r_i}\)	\({s_i}\)
1	1.000	20
2	1.400	14
3	2.000	10

\(S\left( 3 \right)\) diestimasi dengan taksiran Kaplan-Meier.
Dengan menggunakan formula Greenwood, hitunglah variansi dari estimasi tersebut (variance of the estimate).

0,000028
0,000029
0,000030
0,000031
0,000032

[showhide type more_text=”Kunci Jawaban & Pembahasan” less_text=”Sembunyikan Kunci Jawaban & Pembahasan”]

Diketahui

Dalam sebuah studi mortalitas selama 3 tahun diberikan data sebagai berikut:

\({y_i}\)	\({r_i}\)	\({s_i}\)
1	1.000	20
2	1.400	14
3	2.000	10

\(S\left( 3 \right)\) diestimasi dengan taksiran Kaplan-Meier.

Rumus yang digunakan

Kaplan-Meier Product Limit: \(\begin{array}{*{20}{c}} {{S_n}\left( t \right) = \prod\limits_{i = 1}^{j – 1} {\left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right)} = \left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right){S_n}\left( {t – 1} \right)}&{{y_{j – 1}} \le t < {y_j}} \end{array}\)
Greenwood: \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( t \right)} \right) = {S_n}{\left( t \right)^2}\sum\limits_{{y_j} \le t}^j {\frac{{{s_j}}}{{{r_j}\left( {{r_j} – {s_j}} \right)}}} \)

Proses pengerjaan

\({S_n}\left( 3 \right) = \prod\limits_{i = 1}^3 {\left( {\frac{{{r_i} – {s_i}}}{{{r_i}}}} \right)} = \left( {\frac{{980}}{{1000}}} \right)\left( {\frac{{1386}}{{1400}}} \right)\left( {\frac{{1990}}{{2000}}} \right) = 0.965349\)

\(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = {S_n}{\left( 3 \right)^2}\sum\limits_{{y_j} \le t}^3 {\frac{{{s_j}}}{{{r_j}\left( {{r_j} – {s_j}} \right)}}} \) \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = {0.965349^2}\left[ {\frac{{20}}{{\left( {1000} \right)\left( {980} \right)}} + \frac{{14}}{{\left( {1400} \right)\left( {1386} \right)}} + \frac{{10}}{{\left( {2000} \right)\left( {1990} \right)}}} \right]\) \(\widehat {Var}\left( {{S_n}\left( 3 \right)} \right) = 0.000028\)

Jawaban

A. 0,000028

[/showhide]