Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
SOAL
Misal bahwa \(X\) adalah berdistribusi Chi-Square dengan derajat kebebasan 8. Hitunglah Pr(X>10). Diberitahukan distribusi Gamma adalah sebagi berikut:
\({f_X}(x) = \frac{{{\lambda ^\alpha }{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \lambda x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},\) untuk \(0 \le x < \infty ,{\rm{ }}\alpha {\rm{ > 0}}{\rm{,}}\) dan \(\lambda {\rm{ > 0}}\)
(Hint: Gunakan Distribusi Gamma)
- 0,525
- 0,375
- 0,265
- 0,315
- 0,475
| Diketahui | \(X \sim \chi _8^2\) |
| Rumus yang digunakan | Distribusi Chi Square \(X \sim \chi _k^2\) merupakan kasus khusus dari distribusi gamma, sehingga \(X \sim \Gamma (\frac{k}{2},\frac{1}{2})\) menggunakan rate parameter dari distribusi gamma. |
| Proses pengerjaan | \(X \sim \chi _8^2 = X \sim \Gamma (\frac{8}{2},\frac{1}{2}) = X \sim \Gamma (4,\frac{1}{2}){\rm{ }}\)
maka berdasarkan fungsi gamma \({f_X}(x) = \frac{{{\lambda ^\alpha }{x^{\alpha – 1}}{e^{ – \lambda x}}}}{{\Gamma (\alpha )}},\) untuk \(0 \le x < \infty ,{\rm{ }}\alpha = 4,{\rm{ }}\) dan \(\lambda = \frac{1}{2},\) diperoleh \(P(X > 10) = 1 – P(X \le 10)\) \(= 1 – \int\limits_0^{10} {\frac{{{{\frac{1}{2}}^4}{x^{4 – 1}}{e^{ – \frac{1}{2}x}}}}{{3!}}} dx\) \(= 1 – (\frac{1}{{96}}\int\limits_0^{10} {{x^3}{e^{ – \frac{1}{2}x}}} dx)\) \(= 1 – (0.735)\) \(= 0.265\) |
| Jawaban | c. 0,265 |