Pembahasan Ujian PAI: A20 - No. 10 - Juni 2016

Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris

Institusi	:	Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
Mata Ujian	:	A20 – Probabilitas dan Statistika
Periode Ujian	:	Juni 2016
Nomor Soal	:	10

SOAL

Sebuah mesin memiliki dua komponen. Mesin tersebut terus beroperasi selama setidaknya satu dari dua komponen tersebut masih bekerja. Sebuah pengamatan ketika mesin baru mulai bekerja mengindikasikan bahwa waktu lamanya komponen 1 sebelum rusak ialah dan komponen 2 ialah (asumsikan distribusi kontinu dalam satuan tahunan). Fungsi kepadatan peluang gabungan antara ialah :

f(x,y) = x + y , 0 < x < 1 , 0 < y < 1

Berapa peluang bahwa sebuah mesin baru masih bekerja hingga 6 bulan setelah mesin tersebut mulai beroperasi?

31/32
15/16
7/8
3/4
1/2

Kunci Jawaban & Pembahasan

Misalkan	X ialah waktu lamanya komponen 1 sebelum rusak Y ialah waktu lamanya komponen 2 sebelum rusak \(P(X\,atau\,Y\, \ge \,0,5)\, = \,P(X \ge 0,5) + P(Y \ge 0,5) – P(X \ge 0,5\,dan\,Y \ge 0,5)\)
Step 1	Untuk X>0,5\(P(X > 0,5) = \int\limits_0^1 {\int\limits_{0,5}^1 {(x + y)} } \,dxdy\) \(P(X > 0,5) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{1 – 0,{5^2}}}{2} + y(1 – 0,5)} \right)dy} \) \(P(X > 0,5) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{2}y} \right)} dy\) \(P(X > 0,5) = \left( {\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\frac{1}{2}} \right)\) \(P(X > 0,5) = \frac{5}{8}\) Untuk Y>0,5 \(P(Y > 0,5) = \int\limits_0^1 {\int\limits_{0,5}^1 {(x + y)} } \,dydx\) \(P(Y > 0,5) = \int\limits_0^1 {\left( {(1 – 0,5)x + \frac{{1 – 0,{5^2}}}{2}} \right)dx} \) \(P(Y > 0,5) = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}} \right)} dx\) \(P(Y > 0,5) = \left( {\frac{1}{2}\frac{1}{2} + \frac{3}{8}} \right)\) \(P(Y > 0,5) = \frac{5}{8}\) Untuk X>0,5 dan Y>0,5 \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \int\limits_{0,5}^1 {\int\limits_{0,5}^1 {(x + y)\,dxdy} } \) \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \int\limits_{0,5}^1 {\left( {\frac{1}{2}y + \frac{{1 – 0,{5^2}}}{2}} \right)dy} \) \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \int\limits_{0,5}^1 {\left( {\frac{1}{2}y + \frac{3}{8}} \right)dy} \) \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1 – 0,{5^2}}}{2}} \right) + \frac{3}{8}\frac{1}{2}\) \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \frac{1}{2}\frac{3}{8} + \frac{3}{8}\frac{1}{2}\) \(P(X > 0,5 \cap Y > 0,5) = \frac{3}{8}\)
Step 2	\(P(X\,atau\,Y\, \ge \,0,5)\, = \,\frac{5}{8} + \frac{5}{8} – \frac{3}{8}\) \(P(X\,atau\,Y\, \ge \,0,5)\, = \,\frac{7}{8}\)
Jawaban	c. 7/8

Pembahasan Ujian PAI: A20 – No. 10 – Juni 2016