Pembahasan Soal Ujian Profesi Aktuaris
| Institusi |
: |
Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI) |
| Mata Ujian |
: |
Metoda Statistika |
| Periode Ujian |
: |
November 2017 |
| Nomor Soal |
: |
6 |
SOAL
Pada sebuah studi double decrement yang dilakukan pada tahun kalender 2007, diperoleh data sebagai berikut:
| Orang ke- |
Tanggal Lahir |
Tanggal Kematian |
Tanggal Withdrawal |
| 1 |
1 Juli 1912 |
– |
– |
| 2 |
1 April 1912 |
1 Desember 2007 |
– |
| 3 |
1 Oktober 1911 |
– |
? |
| 4 |
1 Januari 1912 |
– |
– |
| 5 |
1 Juni 1912 |
1 November 2007 |
– |
Diketahui pula \({\hat q_{95}}^{‘\left( {kematian} \right)} = 0,46825\) dengan menggunakan metode exact exposure. Pada tanggal berapa orang ke-3 keluar (withdrawal) dari pengamatan pada studi tersebut?
- 1 April 2007
- 1 Mei 2007
- 1 Juni 2007
- 1 Juli 2007
- 1 Agustus 2007
| Diketahui |
\({\hat q_{65}}^{‘\left( {kematian} \right)} = 0,46825\) dengan menggunakan metode exact exposure tahun kalender 2007
| Orang ke- |
Tanggal Lahir |
Tanggal Kematian |
Tanggal Withdrawal |
| 1 |
1 Juli 1912 |
– |
– |
| 2 |
1 April 1912 |
1 Desember 2007 |
– |
| 3 |
1 Oktober 1911 |
– |
? |
| 4 |
1 Januari 1912 |
– |
– |
| 5 |
1 Juni 1912 |
1 November 2007 |
– |
|
| Rumus yang digunakan |
\({y_i} = \) tanggal awal pengamatan – tanggal lahir
\({z_i} = \) tanggal akhir pengamatan – tanggal lahir
\({\theta _i} = \) tanggal meninggal – tanggal lahir
\({\phi _i} = \) tanggal withdraw – tanggal lahir
\({r_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{y_i} \le x}\\ {{y_i} – x{\rm{ \_jika\_ }}x < {y_i} < x + 1} \end{array}} \right.\)
\({s_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {z_i} < x + 1}\\ {1\_{\rm{jika\_}}{z_i} \ge x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\iota _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} = 0}\\ {{\theta _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\theta _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\theta _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\kappa _i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} = 0}\\ {{\phi _i} – x\_{\rm{jika\_}}x < {\phi _i} \le x + 1}\\ {0\_{\rm{jika\_}}{\phi _i} > x + 1} \end{array}} \right.\)
\({\varepsilon _{eksak}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{s_i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_tidak\_meninggal\_dan\_withdraw}}}\\ {{\kappa _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_withdraw}}}\\ {{\iota _i} – {r_i}{\rm{\_jika\_seseorang\_meninggal}}} \end{array}} \right.\) |
| Proses pengerjaan |
| Tgl Lahir |
\({y_i}\) |
\({z_i}\) |
\({\theta _i}\) |
\({\phi _i}\) |
\({r_i}\) |
\({s_i}\) |
\({\iota _i}\) |
\({\kappa _i}\) |
Ekposure
Eksak |
| 1 Jul 1912 |
94.50 |
95.50 |
|
|
0.00 |
0.50 |
|
|
0.50 |
| 1 Apr 1912 |
94.75 |
95.75 |
95.67 |
|
0.00 |
0.75 |
0.67 |
|
0.67 |
| 1 Okt 1911 |
95.25 |
96.25 |
|
95.25+x |
0.25 |
1.00 |
|
0.25+x |
x |
| 1 Jan 1912 |
95.00 |
96.00 |
|
|
0.00 |
1.00 |
|
|
1.00 |
| 1 Jun 1912 |
94.58 |
95.58 |
95.42 |
|
0.00 |
0.58 |
0.42 |
|
0.42 |
| Total |
2.59 |
Bisa dilihat pada kolom \({\iota _i}\) hanya terjadi dua kematian untuk usia 95 tahun sehingga
\({q_{95}} = 1 – \exp \left( { – \frac{2}{{2,59 + x}}} \right) = 0,46825\)
\(– \ln \left( {1 – 0,46825} \right) = \frac{2}{{2,59 + x}}\)
\(1,635797 + 0,631582x = 2\)
\(x = 0,576651\) (diubah ke bulan)
\(\frac{b}{{12}} = 0,576651\)
\(b = 6,9198\)
Jika awal pengamatan dimulai pada 1 Januari 2007 (bulan ke-1) maka orang ke-3 keluar sekitar tanggal 1 Agustus 2007 |
| Jawaban |
e. 1 Agustus 2007 |
